この得られた幾何ベクトルのことを、$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルといいます。
$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルを$\vec{p}$とすると、
となります。
$\vec{a}=\vec{0}$のとき
\[\large \vec{p}=\vec{0}\]
$\vec{a}≠\vec{0}$のとき
$\vec{a}, \vec{b}$のなす角を$θ$とすると
\[\large \vec{p}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
なぜこのように表せるのでしょうか？
正射影とは、ある図形に平面または直線に垂直な方向から平行光線を当てて、その平面または直線上に映し出される影のことです。
線分$AB$の平面$α$への正射影は、線分$AB$の各点を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点の集まりであるといえます。
点$A$を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点を$C$、点$B$を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点を$D$とすると、線分$AB$の各点を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点の集まりは$C,
D$を結ぶ線分、すなわち線分$CD$となります。
これが、線分$AB$の平面$α$への正射影です。
ただし、線分$AB$が平面$α$と垂直なとき、線分$AB$の各点を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点はすべて重なり点となります。
これが、線分$AB$の平面$α$への正射影です。
ただし、線分$AB$が平面$α$と垂直なとき、線分$AB$の各点を通る平面$α$の垂線と平面$α$との交点はすべて重なり点となります。
この正射影の考え方を、幾何ベクトルに適用したものが正射影ベクトルです。
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$\vec{a}, \vec{b}$それぞれの有向線分の始点をそろえ、$OA, OB$とします。
終点$A$を通る直線$OB$の垂線と直線$OB$の交点を$P$とすると、有向線分$OA$の各点を通る直線$OB$の垂線と直線$OB$との交点の集まりは、始点を$O$、終点を$P$とする有向線分、すなわち有向線分$OP$となります。
これが、有向線分$OA$の直線$OB$への正射影であり、有向線分$OP$が表す幾何ベクトルが$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルとなります。
これが、有向線分$OA$の直線$OB$への正射影であり、有向線分$OP$が表す幾何ベクトルが$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルとなります。
$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトルを$\vec{p}$として、$\vec{a},
\vec{b}$によって$\vec{p}$がどのように表されるのかを見てみます。
$\vec{a}$が零ベクトルのとき
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したがって、
\[\large \vec{p}=\vec{0}\]
となることがわかります。
$\vec{a}$が零ベクトルでないとき
$\vec{a}≠\vec{0}$のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$の間に角ができます。
$\vec{a}, \vec{b}$それぞれの有向線分$OA, OB$の間にできる$0$以上$\pi$以下の角$∠AOB$を、$\vec{a}, \vec{b}$のなす角$θ$とします。
$\vec{a}, \vec{b}$それぞれの有向線分$OA, OB$の間にできる$0$以上$\pi$以下の角$∠AOB$を、$\vec{a}, \vec{b}$のなす角$θ$とします。
$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトル$\vec{p}$を、$θ=0$のとき、$0<θ<\dfrac{\pi}{2}$のとき、$θ=\dfrac{\pi}{2}$のとき、$\dfrac{\pi}{2}<θ<\pi$のとき、$θ=\pi$のときの5つの場合に分けて考えます。
$θ=0$のとき
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すると、有向線分$OA$と$\vec{p}$の有向線分$OP$は一致するため、
\[\vec{p}=\vec{a}\]
となることがわかります。
ここで、$\vec{a}$と$\vec{b}$は同じ向きであるため、$\vec{b}$と$\vec{p}$も同じ向きであることがわかります。
したがって、$\vec{b}$と同じ向きの単位ベクトルをもちいて$\vec{p}$は
\begin{equation}\vec{p}=|\vec{a}|\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\vec{b}\end{equation}
と表すことができます。
$0<θ<\dfrac{\pi}{2}$のとき
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$∠AOP$も鋭角なので、同一直線上にある有向線分$OB$と$OP$は同じ向きであることがわかります。
したがって、$∠AOB=∠AOP=θ$が成り立ちます。
直線$AP$は直線$OB$の垂線であるため、$△AOP$は$∠APO=90°$である直角三角形となります。
直角三角形$△AOP$の三角比より、有向線分$OP$の長さは$OP=OA\cos∠AOP$となります。
直角三角形$△AOP$の三角比より、有向線分$OP$の長さは$OP=OA\cos∠AOP$となります。
$OA=|\vec{a}|, ∠AOP=θ$より
\begin{equation}OP=|\vec{a}|\cos\theta\end{equation}
が成り立ちます。
有向線分$OB$と$OP$は同じ向き、すなわち$\vec{b}$と$\vec{p}$は同じ向きなので、有向線分$OP$の長さ$(2)$と$\vec{b}$と同じ向きの単位ベクトルをもちいて$\vec{p}$は
\[\vec{p}=|\vec{a}|\cos\theta\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
と表せることがわかります。
$θ=\dfrac{\pi}{2}$のとき
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したがって、有向線分$OP$の始点と終点が一致するため、
\begin{equation}\vec{p}=\vec{0}\end{equation}
となることがわかります。
$\dfrac{\pi}{2}<θ<\pi$のとき
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$∠AOP$は鋭角なので、同一直線上にある有向線分$OB$と$OP$は互いに逆向きであることがわかります。
したがって、$∠AOP=\pi-∠AOB=\pi-θ$が成り立ちます。
直角三角形$△AOP$の三角比より、有向線分$OP$の長さは
\[OP=OA\cos\angle AOP=|\vec{a}|\cos(\pi-\theta)\]
となり、三角関数の性質$\cos(\pi-θ)=-\cos θ$より
\begin{equation}OP=-|\vec{a}|\cos\theta\end{equation}
と書けます。
有向線分$OB$と$OP$は互いに逆向き、すなわち$\vec{b}$と$\vec{p}$は互いに逆向きなので、有向線分$OP$の長さ$(4)$と$\vec{b}$と同じ向きの単位ベクトルをもちいて$\vec{p}$は
\[\vec{p}=-\bigl(-|\vec{a}|\cos\theta\bigr)\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
と表せることがわかります。
$θ=\pi$のとき
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すると、有向線分$OA$と$\vec{p}$の有向線分$OP$は一致するため、
\[\vec{p}=\vec{a}\]
となることがわかります。
ここで、$\vec{a}$と$\vec{b}$は互いに逆向きであるため、$\vec{b}$と$\vec{p}$も互いに逆向きであることがわかります。
したがって、$\vec{b}$と同じ向きの単位ベクトルをもちいて$\vec{p}$は
\begin{equation}\vec{p}=-\bigl(|\vec{a}|\bigr)\cdot\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\vec{b}\end{equation}
と表すことができます。
$0<θ<\dfrac{\pi}{2}$のときと$\dfrac{\pi}{2}<θ<\pi$のときで共通する$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトル
となり、$(1), (3), (5)$と一致します。
\[\vec{p}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
に$θ=0, \dfrac{\pi}{2}, \pi$をそれぞれ代入すると
$θ=0$を代入
\begin{align*}\vec{p}&=\frac{|\vec{a}|\cos
0}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=\frac{|\vec{a}|\cdot1}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\vec{b}\end{align*}
$θ=\dfrac{\pi}{2}$を代入
\begin{align*}\vec{p}&=\frac{|\vec{a}|\cos\cfrac{\pi}{2}}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=\frac{|\vec{a}|\cdot
0}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=\vec{0}\end{align*}
$θ=\pi$を代入
\begin{align*}\vec{p}&=\frac{|\vec{a}|\cos
\pi}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=\frac{|\vec{a}|\cdot(-1)}{|\vec{b}|}\vec{b}\\[0.5em]&=-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\vec{b}\end{align*}
したがって、$\vec{a}$が零ベクトルでないとき、$\vec{a},
\vec{b}$のなす角が$θ$ならば、$\vec{a}$の$\vec{b}$への正射影ベクトル$\vec{p}$は
\[\large \vec{p}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
と表せることがわかります。
よって、$\vec{a}$の零ベクトルでない$\vec{b}$への正射影ベクトル$\vec{p}$は、
となることがわかります。
$\vec{a}=\vec{0}$のとき
\[\large \vec{p}=\vec{0}\]
$\vec{a}≠\vec{0}$のとき
$\vec{a}, \vec{b}$のなす角が$θ$ならば
\[\vec{p}=\frac{|\vec{a}|\cos\theta}{|\vec{b}|}\vec{b}\]
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