三垂線の定理とは？

　平面$α$上にない点$\text{P}$から平面$α$へ垂線をおろし、その足を$\text{H}$とします。
点$\text{H}$から平面$α$上の直線$l$へ垂線をおろし、その足を$\text{Q}$とします。

このとき、直線$\text{PQ}$は直線$l$に垂直となります。これを三垂線の定理といいます。

この定理は命題の形では

\[\large \text{PH}\perp\alphaかつ \text{QH}\perp l\Rightarrow \text{PQ}\perp l\]

のように書きます。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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垂線で分割された三角形の辺の一部の長さは？

「上図のように$∠\text{A}=60°$である$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へ垂線$\text{AH}$をおろしたとき、$\text{AH}=6,\text{BH}=3$となった。このときの$\text{BH}$の長さを求めよ。」

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垂線の作図法

　直線$l$に対する点$\text{P}$を通る垂線を定規とコンパスを使って作図する方法を、点$\text{P}$が直線$l$上にある場合とない場合の2通り紹介します。

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鈍角三角形の3本の垂線の性質

　鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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直角三角形の垂線の性質

　直角三角形の各頂点から対辺へおろした垂線のうち、直角の頂点から以外のものは辺と重なります。
したがって、直角三角形の垂線というと直角の頂点から引いたものしかないように見えます。上図の直角三角形$\text{ABC}$においては線分$\text{AD}$のことです。

この垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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鋭角三角形の3本の垂線の性質

　鋭角三角形の各頂点から対辺におろした3本の垂線にはどのような性質があるでしょうか？

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2円の異なる2つの交点を通る直線と2つの中心を通る直線の関係

　2つの円の異なる2つの交点を通る直線は、2つの円の中心を通る直線に対し垂直になります。

なぜこのようなことが言えるのでしょうか？

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楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$の焦点の1つ$\text{F}$から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を$\text{P}$とするとき、線分$\text{FP}$の長さはどうなるでしょうか？

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正四面体の頂点から対面におろした垂線はどこで交わる？

　正四面体の頂点から対面へ垂線をおろすと対面のどこと交わるでしょうか？

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ヴィヴィアーニの定理

　ヴィヴィアーニの定理が成立することを確かめてみます。

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Geometric mean theorem（幾何平均定理）

　幾何平均定理（Geometric mean theorem）がなぜ成立するのかを確かめてみました。

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