二等辺三角形から30°-60°-90°の直角三角形の3辺の比が求まるまで

　二等辺三角形の性質を調べるところから始めて最終的に$30°-60°-90°$の直角三角形の3辺の比を求めてみます。
ただし、三角形の内角の和や三角形の合同、三平方の定理はすでにわかっているものとします。

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正三角形の中線は垂直二等分線かつ角の二等分線になる？

　正三角形の中線は垂直二等分線や角の二等分線になることができるのでしょうか？

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ルーローの三角形の周の長さと面積を求める

「上の図形は正三角形の各頂点を中心とし、1辺の長さを半径とする円弧で他の2つの頂点間を結んだ図形で、ルーローの三角形と呼ばれる。
この図形を作図するときにもとになった正三角形の1辺の長さが$2$であったとき、この図形の周の長さと面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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三平方の定理 正方形以外の図形

　三平方の定理

\[c^2=a^2+b^2\]

は、「直角三角形の斜辺の長さを1辺とする正方形の面積は他の2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和に等しい」と説明されますが、この式を変形すれば正方形以外の様々な図形に変えて考えることができます。

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ヴィヴィアーニの定理

　ヴィヴィアーニの定理が成立することを確かめてみます。

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正三角形の中の図形の面積比

図1　正三角形の各部分の面積比は？

「図1のように正三角形の辺はそれぞれ$3:1,\ 4:1,\ 5:1$に内分されている。正三角形の重心からそれぞれの内分点に線を引き3つの四角形に分割する。このとき緑の四角形と赤い四角形と青い四角形の面積比を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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ナポレオンの定理をベクトルを使って確かめる

　ナポレオンの定理が正しいことをベクトルを使って確かめてみます。

図1　ナポレオンの定理

　ナポレオンの定理とは、三角形の各辺を1辺とする正三角形を描くと各正三角形の重心を線で結ぶと正三角形ができるという定理です。

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正三角形の作図法

　正三角形の定規とコンパスを使った作図法を2通り紹介します。

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円に内接・外接する正三角形の周の長さを計算してみる

　半径$1$の円に内接・外接する正三角形の周の長さはいくらになるのかを計算してみます。
円周と正三角形の周の長さの関係から円周率の値がどのくらい絞り込めるのかも調べてみます。

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正三角形の中線が垂直二等分線であることの証明

図1　正三角形の中線$\text{AD}$

　正三角形の1辺の中点と対角の頂点を結ぶ中線が垂直二等分線でもあることを確認します。

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正三角形の重心が中線を2:1に内分するのはなんでだっけ……？

　三角形の重心とは、頂点と対辺の中点を結ぶ中線の交点のことです。
正三角形の重心は中線を$2:1$に内分します。これはなぜでしょうか？

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頂角が60°の二等辺三角形が正三角形であることの証明

　頂角が$60°$の二等辺三角形が正三角形であることはどうすればわかるのか？を考えてみます。

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