三平方の定理 正方形以外の図形

　三平方の定理

$$c^2=a^2+b^2$$

は、「直角三角形の斜辺の長さを1辺とする正方形の面積は他の2辺をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和に等しい」と説明されますが、この式を変形すれば正方形以外の様々な図形に変えて考えることができます。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

　両辺に任意の実数$k$を掛けると

$$kc^2=ka^2+kb^2$$

となります。

これは直角三角形と隣接している図形が直角三角形と共有している1辺の長さの$k$倍が他辺の長さの長方形であると考えることができます。

　両辺に$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$を掛けると

$$\frac{\sqrt{3}c^2}{4}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}+\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$$

となります。

この場合は上記と同様、長方形であると考えることもできますが、

直角三角形と隣接している図形が正三角形であるとも考えることができます。

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$倍の理由は、正三角形の高さは1辺の長さの$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$倍なので、1辺の長さが$c$の正三角形を例にすればその面積は

$$\frac{1}{2}\cdot c\cdot\frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{\sqrt{3}c^2}{4}$$

となるためです。

　両辺に$\dfrac{\pi}{8}$を掛けると

$$\frac{\pi c^2}{8}=\frac{\pi a^2}{8}+\frac{\pi b^2}{8}$$

となります。

これは直角三角形と隣接している図形が半円であると考えることができます。

$\dfrac{\pi}{8}$倍の理由は、半円はそれぞれの辺の長さを直径としているので、直径を$c$とする半円を例にすればその面積は

$$\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{c}{2}\right)^2\pi=\frac{\pi c^2}{8}$$

となるためです。

この関係はヒポクラテスの定理で利用されています。

関連：ヒポクラテスの定理

　以上に上げたそれぞれの直角三角形の辺に隣接する図形はいずれも相似でした。これ以外にも隣接する図形が相似であれば面積の関係は同様に三平方の定理を満たします。