「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。
(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$
(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$
(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」
これらの問題を解くには対数の計算法則を利用します。
\begin{align*}&(a)&\log{M}+\log{N}&=\log{MN}\\ \\ &(b)&\log{M}-\log{N}&=\log\frac{M}{N}\\ \\ &(c)&p\log{M}&=\log{M^p}\end{align*}
(1)
(a)と(c)を利用して変形します。
\begin{align*}\log(MN)^p&=p\log{MN}\\ \\ &=p(\log{M}+\log{N})\\ \\ &=p\log{M}+p\log{N}\\ \\ &=p\log{M}+3\log{N}+(p-3)\log{N}\\ \\ &=(p-3)\log{N}+p\log{M}+3\log{N}\\ \\ &=(p-3)\log{N}+\left\{\log{M^p}+\log{N^3}\right\}\\ \\ &=\log{N^{p-3}}+\log{M^pN^3}\end{align*}
したがって、答えは$p-3$です。
(2)
(b)と(c)を利用して変形します。
\begin{align*}\log\frac{M}{N}&=\log{M}-\log{N}\\ \\ &=-\log{M}+2\log{M}-\log{N}\\ \\ &=-1×\log{M}-\left(\log{N}-2\log{M}\right)\\ \\ &=\log{M^{-1}}-\left(\log{N}-\log{M^2}\right)\\ \\ &=\log\frac{1}{M}-\log\frac{N}{M^2}\end{align*}
したがって、答えは$\dfrac{N}{M^2}$です。
(3)
(c)を利用して変形します。
\begin{align*}\log{M^p}&=p\log{M}\\ \\ &=\frac{1}{p}÷\frac{1}{p}×p\log{M}\\ \\&=\frac{1}{p}×p×p\log{M}\\ \\ &=\frac{1}{p}×p^2\log{M}\\ \\ &=\frac{1}{p}\log{M^{p^2}}\end{align*}
したがって、答えは$p^2$です。
関連：対数の計算法則
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