対数の計算法則を利用した問題

「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。

(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$

(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$

(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　これらの問題を解くには対数の計算法則を利用します。

$$\begin{align*}\log{M}+\log{N}&=\log{MN}\tag{a}\\[1em]\log{M}-\log{N}&=\log\frac{M}{N}\tag{b}\\[1em]p\log{M}&=\log{M^p}\tag{c}\end{align*}$$

(1)

　$\text{(a)}$と$\text{(c)}$を利用して変形します。

$$\begin{align*}\log(MN)^p&=p\log{MN}\\[0.5em]&=p(\log{M}+\log{N})\\[0.5em]&=p\log{M}+p\log{N}\\[0.5em]&=p\log{M}+3\log{N}+(p-3)\log{N}\\[0.5em]&=(p-3)\log{N}+p\log{M}+3\log{N}\\[0.5em]&=(p-3)\log{N}+\left\{\log{M^p}+\log{N^3}\right\}\\[0.5em]&=\log{N^{p-3}}+\log{M^pN^3}\end{align*}$$

したがって、答えは$p-3$です。

(2)

　$\text{(b)}$と$\text{(c)}$を利用して変形します。

$$\begin{align*}\log\frac{M}{N}&=\log{M}-\log{N}\\[0.5em]&=-\log{M}+2\log{M}-\log{N}\\[0.5em]&=-1×\log{M}-\left(\log{N}-2\log{M}\right)\\[0.5em]&=\log{M^{-1}}-\left(\log{N}-\log{M^2}\right)\\[0.5em]&=\log\frac{1}{M}-\log\frac{N}{M^2}\end{align*}$$

したがって、答えは$\dfrac{N}{M^2}$です。

(3)

　$\text{(c)}$を利用して変形します。

$$\begin{align*}\log{M^p}&=p\log{M}\\[0.5em]&=1×p\log{M}\\[0.5em]&=\left(\frac{1}{p}×p\right)×p\log{M}\\[0.5em]&=\frac{1}{p}×p^2\log{M}\\[0.5em]&=\frac{1}{p}\log{M^{p^2}}\end{align*}$$

したがって、答えは$p^2$です。

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