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2022年7月1日

2次関数の頂点が最大・最小となる条件

「2次関数y=ax^2+2a^2x-5 (-2\leqq x\leqq3,\ a:実数)において以下を満たすようなaの値の範囲を求めよ。

(1)頂点で最大となる。

(2)頂点で最小となる。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 最大値・最小値に関連する問題なので、まずは平方完成します。
\begin{align*}y&=ax^2+2a^2x-5\\[0.5em]&=a(x^2+2ax)-5\\[0.5em]&=a\{(x+a)^2-a^2\}-5\\[0.5em]y&=a(x+a)^2-a^3-5\end{align*}
このことから軸の方程式はx=-a、頂点の座標は(-a,-a^3-5)となります。
軸と定義域
軸が定義域内にないと頂点も定義域内にないので頂点で最大・最小になることはありません。したがって、頂点が定義域内にあるためのaの範囲は-2\leqq-a\leqq3、すなわち-3\leqq a\leqq2となります。
また、2次関数であるためにはa\neq0でなければならないのでaの範囲は-2\leqq a<0,0<a\leqq3の2つにわかれます。

 それぞれのaの範囲について見ていくと、
-3\leqq a<0のときはaが負なのでx^2の係数も負となり、上に凸の放物線を描くから頂点で最大となります。
0<a\leqq2のときはaが正なのでx^2の係数も正となり、下に凸の放物線を描くから頂点で最小となります。

 したがって、問題の答えは

(1)-3\leqq a<0

(2)0<a\leqq2

となります。

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