「2次関数y=ax^2+2a^2x-5 (-2\leqq x\leqq3,\
a:実数)において以下を満たすようなaの値の範囲を求めよ。
(1)頂点で最大となる。
(2)頂点で最小となる。」
最大値・最小値に関連する問題なので、まずは平方完成します。
\begin{align*}y&=ax^2+2a^2x-5\\[0.5em]&=a(x^2+2ax)-5\\[0.5em]&=a\{(x+a)^2-a^2\}-5\\[0.5em]y&=a(x+a)^2-a^3-5\end{align*}
このことから軸の方程式はx=-a、頂点の座標は(-a,-a^3-5)となります。
軸が定義域内にないと頂点も定義域内にないので頂点で最大・最小になることはありません。したがって、頂点が定義域内にあるためのaの範囲は-2\leqq-a\leqq3、すなわち-3\leqq
a\leqq2となります。
また、2次関数であるためにはa\neq0でなければならないのでaの範囲は-2\leqq
a<0,0<a\leqq3の2つにわかれます。
0<a\leqq2のときはaが正なのでx^2の係数も正となり、下に凸の放物線を描くから頂点で最小となります。
したがって、問題の答えは
(1)-3\leqq a<0
(2)0<a\leqq2
となります。
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