2次関数の頂点が最大・最小となる条件 ~ 数学について考えてみる

2022年7月1日

PLUMBAGO

「2次関数

y = a x^{2} + 2 a^{2} x - 5

$y=ax^2+2a^2x-5$

(- 2 ≦ x ≦ 3, a : 実 数)

$(-2\leqq x\leqq3,\ a:実数)$ において以下を満たすような

a

$a$ の値の範囲を求めよ。

(1)頂点で最大となる。

(2)頂点で最小となる。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　最大値・最小値に関連する問題なので、まずは平方完成します。

\begin{matrix} y & = a x^{2} + 2 a^{2} x - 5 = a (x^{2} + 2 a x) - 5 = a {(x + a)^{2} - a^{2}} - 5 y & = a (x + a)^{2} - a^{3} - 5 \end{matrix}

$\begin{align*}y&=ax^2+2a^2x-5\\[0.5em]&=a(x^2+2ax)-5\\[0.5em]&=a\{(x+a)^2-a^2\}-5\\[0.5em]y&=a(x+a)^2-a^3-5\end{align*}$

このことから軸の方程式は

x = - a

$x=-a$ 、頂点の座標は

(- a, - a^{3} - 5)

$(-a,-a^3-5)$ となります。

軸が定義域内にないと頂点も定義域内にないので頂点で最大・最小になることはありません。したがって、頂点が定義域内にあるための

a

$a$ の範囲は

- 2 ≦ - a ≦ 3

$-2\leqq-a\leqq3$ 、すなわち

- 3 ≦ a ≦ 2

$-3\leqq a\leqq2$ となります。

また、2次関数であるためには

a \neq 0

$a\neq0$ でなければならないので

a

$a$ の範囲は

- 2 ≦ a < 0, 0 < a ≦ 3

$-2\leqq a<0,0<a\leqq3$ の2つにわかれます。

　それぞれの

a

$a$ の範囲について見ていくと、

- 3 ≦ a < 0

$-3\leqq a<0$ のときは

a

$a$ が負なので

x^{2}

$x^2$ の係数も負となり、上に凸の放物線を描くから頂点で最大となります。

0 < a ≦ 2

$0<a\leqq2$ のときは

a

$a$ が正なので

x^{2}

$x^2$ の係数も正となり、下に凸の放物線を描くから頂点で最小となります。

　したがって、問題の答えは

(1) $-3\leqq a<0$

(2) $0<a\leqq2$

となります。

数学について考えてみる