「|x2−3x−18|=x+k|x2−3x−18|=x+kが実数解をもつときのkkの値の範囲を実数解の個数ごとに場合分けをして答えよ。」
以前の記事ではグラフを利用して解きましたが、今度はグラフを利用しないで解いてみます。
絶対値記号を外したときの結果で場合分けすると、
x2−3x−18=(x+3)(x−6)<0すなわち−3<x<6のとき|x2−3x−18|=−(x2−3x−18)=−x2+3x+18x2−3x−18=(x+3)(x−6)≧0すなわちx≦−3,6≦xのとき|x2−3x−18|=x2−3x−18x2−3x−18=(x+3)(x−6)<0すなわち−3<x<6のとき|x2−3x−18|=−(x2−3x−18)=−x2+3x+18x2−3x−18=(x+3)(x−6)≧0すなわちx≦−3,6≦xのとき|x2−3x−18|=x2−3x−18
となるので、それぞれの場合について実数解の個数を調べます。
−3<x<6−3<x<6のとき
−x2+3x+18=x+kx2−2x−18+k=0−x2+3x+18=x+kx2−2x−18+k=0
解の公式より
x=1±√(−1)2−(−18+k)=1±√19−kx=1±√(−1)2−(−18+k)=1±√19−k
ここで−3<x<6−3<x<6より、小さい方の解が存在するための条件は
−3<1−√19−k<6−3<1−√19−k<6
であるから、kkについて解くと
−4<−√19−k<5−5<√19−k<4−4<−√19−k<5−5<√19−k<4
√19−k≧0√19−k≧0なので、
0≦√19−k<43<k≦190≦√19−k<43<k≦19
となります。
また、大きい方の解が存在するための条件は
−3<1+√19−k<6−3<1+√19−k<6
であるから、同様にして
−4<√19−k<50≦√19−k<5−6<k≦19−4<√19−k<50≦√19−k<5−6<k≦19
以上より、−3<x<6における方程式の実数解の個数は
- k≦−6のとき、実数解0個
- −6<k≦3のとき、大きい方の解のみ存在するため実数解1個
- 3<k<19のとき、異なる2解が存在するため実数解2個
- k=19のとき、重解となるため実数解1個
- k>19のとき、実数解0個
の5通りがあります。
x≦−3,6≦xのとき
x2−3x−18=x+kx2−4x−18−k=0
解の公式より
x=2±√(−2)2−(−18−k)=2±√22+k
ここでx≦−3,6≦xより、小さい方の解が存在するための条件は
2−√22+k≦−3
であるから、（x2−3−18=0より、小さい方の解はx=−3周辺に存在します）kについて解くと
−√22+k≦−5√22+k≧5√22+k≧5k≧3
となります。
また、大きい方の解が存在するための条件は
6≦2+√22+k
であるから、（x2−3−18=0より、大きい方の解はx=6周辺に存在します）同様にして
4≦√22+kk≧−6
以上より、x≦−3,6≦xにおける方程式の実数解の個数は
- k<−6のとき、実数解0個
- −6≦k<3のとき、大きい方の解のみ存在するため実数解1個
- k≧3のとき、異なる2解が存在するため実数解2個
の3通りがあります。
それぞれのxの値の範囲における実数解の個数がわかったので、これをkの値の範囲で整理して方程式の実数解の個数をまとめます。
- k<−6のとき、実数解0個
- k=−6のとき、x≦−3,6≦xにおいて実数解が1個存在する
- −6<k<3のとき、−3<x<6において実数解1個、x≦−3,6≦xにおいて実数解1個の計2個存在する
- k=3のとき、−3<x<6において実数解1個、x≦−3,6≦xにおいて実数解2個の計3個存在する
- 3<k<19のとき、−3<x<6において実数解2個、x≦−3,6≦xにおいて実数解2個の計4個存在する
- k=19のとき、−3<x<6において実数解1個、x≦−3,6≦xにおいて実数解2個の計3個存在する
- k>19のとき、x≦−3,6≦xにおいて実数解が2個存在する
の7通りに分けることができます。
問題は実数解をもつときのkの値の範囲なので、k<−6を除いた6通りが答えとなります。
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