絶対値のある2次方程式の実数解の個数（グラフ不使用）

「$|x^2-3x-18|=x+k$が実数解をもつときの$k$の値の範囲を実数解の個数ごとに場合分けをして答えよ。」

　以前の記事ではグラフを利用して解きましたが、今度はグラフを利用しないで解いてみます。

　絶対値記号を外したときの結果で場合分けすると、

$$\begin{align*}x^2-3x-18=(x+3)(x-6)<0\\ すなわち-3<x<6のとき\\ |x^2-3x-18|&=-(x^2-3x-18)=-x^2+3x+18\\ \\ x^2-3x-18=(x+3)(x-6)\geqq0\\ すなわちx\leqq-3,6\leqq xのとき\\ |x^2-3x-18|&=x^2-3x-18\end{align*}$$
となるので、それぞれの場合について実数解の個数を調べます。

$-3<x<6$のとき

$$\begin{align*}-x^2+3x+18&=x+k\\ \\ x^2-2x-18+k&=0\end{align*}$$

解の公式より

$$\begin{align*}x&=1\pm\sqrt{(-1)^2-(-18+k)}\\ \\ &=1\pm\sqrt{19-k}\end{align*}$$

ここで$-3<x<6$より、小さい方の解が存在するための条件は

$$-3<1-\sqrt{19-k}<6$$

であるから、$k$について解くと

$$\begin{align*}-4<&-\sqrt{19-k}<5\\ \\ -5<&\sqrt{19-k}<4\end{align*}$$

$\sqrt{19-k}\geqq0$なので、

$$\begin{align*}0\leqq&\sqrt{19-k}<4\\ \\ 3<&k\leqq19\end{align*}$$

となります。

また、大きい方の解が存在するための条件は

$$-3<1+\sqrt{19-k}<6$$

であるから、同様にして

$$\begin{align*}-4<&\sqrt{19-k}<5\\ \\ 0\leqq&\sqrt{19-k}<5\\ \\ -6<&k\leqq19\end{align*}$$

以上より、$-3<x<6$における方程式の実数解の個数は

• $k\leqq-6$のとき、実数解0個
• $-6<k\leqq3$のとき、大きい方の解のみ存在するため実数解1個
• $3<k<19$のとき、異なる2解が存在するため実数解2個
• $k=19$のとき、重解となるため実数解1個
• $k>19$のとき、実数解0個

の5通りがあります。

$x\leqq-3,6\leqq x$のとき

$$\begin{align*}x^2-3x-18&=x+k\\ \\ x^2-4x-18-k&=0\end{align*}$$

解の公式より

$$\begin{align*}x&=2\pm\sqrt{(-2)^2-(-18-k)}\\ \\ &=2\pm\sqrt{22+k}\end{align*}$$

ここで$x\leqq-3,6\leqq x$より、小さい方の解が存在するための条件は

$$2-\sqrt{22+k}\leqq-3$$

であるから、（$x^2-3-18=0$より、小さい方の解は$x=-3$周辺に存在します）$k$について解くと

$$\begin{align*}-\sqrt{22+k}&\leqq-5\\ \\ \sqrt{22+k}&\geqq5\\ \\ \sqrt{22+k}&\geqq5\\ \\ k&\geqq3\end{align*}$$

となります。

また、大きい方の解が存在するための条件は

$$6\leqq2+\sqrt{22+k}$$

であるから、（$x^2-3-18=0$より、大きい方の解は$x=6$周辺に存在します）同様にして

$$\begin{align*}4&\leqq\sqrt{22+k}\\ \\ k&\geqq-6\end{align*}$$

以上より、$x\leqq-3,6\leqq x$における方程式の実数解の個数は

• $k<-6$のとき、実数解0個
• $-6\leqq k<3$のとき、大きい方の解のみ存在するため実数解1個
• $k\geqq3$のとき、異なる2解が存在するため実数解2個

の3通りがあります。

　それぞれの$x$の値の範囲における実数解の個数がわかったので、これを$k$の値の範囲で整理して方程式の実数解の個数をまとめます。

• $k<-6$のとき、実数解0個
• $k=-6$のとき、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解が1個存在する
• $-6<k<3$のとき、$-3<x<6$において実数解1個、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解1個の計2個存在する
• $k=3$のとき、$-3<x<6$において実数解1個、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解2個の計3個存在する
• $3<k<19$のとき、$-3<x<6$において実数解2個、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解2個の計4個存在する
• $k=19$のとき、$-3<x<6$において実数解1個、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解2個の計3個存在する
• $k>19$のとき、$x\leqq-3,6\leqq x$において実数解が2個存在する

の7通りに分けることができます。

問題は実数解をもつときの$k$の値の範囲なので、$k<-6$を除いた6通りが答えとなります。

関連：絶対値のある2次方程式の実数解の個数