極限値と極値の違いは？

　極限値と極値、よく似ている単語ですがどのような違いがあるのでしょうか？

　極限値は極限に関する値のことで

$$\lim_{x\to a}f(x)=b$$

のように$x$を$a$に限りなく近づけたとき$f(x)$が$b$に近づいた（収束した）ときの$b$のことを指します。

ある特定の有限値に近づいたときにその値を極限値というので、限りなく大きくなることを表す$\infty$や限りなく小さくなることを表す$-\infty$（発散）のことは極限値とは呼びません。

　極値は関数に関する値のことで関数$y=f(x)$のグラフの凸になっている部分のうち$f'(x)=0$（接線とx軸が平行）となる点のy座標のことです。

下に凸の$f'(x)=0$となる点のy座標を極小値、上に凸の$f'(x)=0$となる点のy座標を極大値と呼び、これら2つのことを極値と呼びます。

定義域によっては最大値・最小値となる可能性のある部分なので最大値・最小値を調べる際には極値についても調べる必要があります。