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2022年7月14日

星型五角形の角度を求める

五芒星の角度
「上の角度a,b,cを求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


角度a

 角度aは上図の赤線のように補助線を引き、緑色と斜線部の三角形を利用して求めます。黄色で示した角の和をyとおくと、緑色の三角形の内角の和は180°なので
\begin{equation}35°+38°+26°+y=180°\end{equation}
となります。
また、斜線部の三角形の内角は黄色で示した角以外のもう1つの角は対頂角の性質よりaと等しくなるので、その和は180°なので
\begin{equation}a+y=180°\end{equation}
(1)(2)を比較すると和が180°であることとyを加えていることが共通していることから、それ以外の部分が等しくなるため
a=35°+38°+26°=99°
であることがわかります。

角度b

星型五角形の中の三角形(緑)に着目する
 角度bは上図のように緑色の三角形部分に着目して求めます。
三角形の内角の和は180°なので
b+99°+41°=180°
となります。このことから
b=180°-99°-41°=40°
であるとわかります。

星型五角形の先端の角度の和は180°
 また、星型五角形の先端部の角度の和は180°であることからも
\begin{align*}b&+35°+41°+26°+38°=180°\\[0.5em]b&=180°-35°-41°-26°-38°\\[0.5em]&=40°\end{align*}
のように求めることができます。

角度c

星型五角形の中の凹型四角形(緑)に着目する
 角度cは角度aと同じように求めることができます。
上図の緑色の部分より紫色で示した角p
p=26°+35°+40°=101°
と求めることができ、c+p=180°なので、
\begin{align*}c&=180°-p\\[0.5em]&=180°-101°\\[0.5em]&=79°\end{align*}
であることがわかります。

星型五角形の中の三角形(緑)に着目する
 また、上図の三角形に着目すれば外角の定理より外角と隣接しない三角形の内角の和が等しくなるので
c=41°+38°=79°
と求めることができます。

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