対数方程式を解く（実数解を求める基本の方法）

　対数方程式とは、真数が未知数の対数（対数関数）を含む方程式のことです。
例えば、

\[\large \log_2{x}=3\]

のような方程式のことです。

対数方程式の実数解はどのように求めるのでしょうか？

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対数関数とは？

　対数関数とは、

\[\large y=\log_a{x}\qquad(a:定数,a>0\text{かつ}a\neq1)\]

という、定数$a$を底、独立変数（ここでは$x$）を真数とする対数$\log_a{x}$によって値が決まる関数のことです。

実関数としての対数関数は実数範囲における対数$\log_a{x}$をもちいるので、底$a$は$1$でない正の実数であり、真数条件より対数関数が定義できる$x$の範囲は$x>0$となります。

関連：対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

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対数の大小関係

　対数の大小関係は以下のようになります。

$0<a<1$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}>0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}<0&(1<M)\end{cases}

$1<a$である正の数$a$と正の実数$M$について

\begin{cases}\log_a{M}<0&(0<M<1)\\[0.5em]\log_a{M}=0&(M=1)\\[0.5em]\log_a{M}>0&(1<M)\end{cases}

正の数$a$と$M<N$である正の実数$M, N$について

\begin{cases}\log_a{M}>\log_a{N}&(0<a<1)\\[0.5em]\log_a{M}<\log_a{N}&(1<a)\end{cases}

これらが成り立つことを確かめてみます。

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対数とは？（実数範囲における対数、対数の計算法則）

　対数とは、べき乗の値からみたべき乗の指数のことです。

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12^5の上2桁は何？

「$12^5$の上2桁を答えよ。
ただし、$2=10^{0.3010},3=10^{0.4771}$であることをもちいてよい。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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log0はどんな数？

　$\log{0}$（底は任意）はどのような数になるでしょうか？

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対数の計算法則を利用した問題

「次の$\square$に当てはまる式を答えよ。

(1)$\large \log(MN)^p=\log{N^\square}+\log{M^pN^3}$

(2)$\large \log\frac{M}{N}=\log\frac{1}{M}-\log\square$

(3)$\large \log{M^p}=\frac{1}{p}\log{M^\square}$」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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対数関数を指数に持つ指数関数の微分

「次の関数を微分せよ。

(1)$\large e^{\log_e{x}}$ $\large(x>0)$

(2)$\large e^{x\log_e{2}}$

(3)$\large e^{\log_3{x}}$ $\large(x>0)$」

　このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

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整数は何桁？0でない数が現れるのは小数第何位？

「次の問題を解け。$\log_{10}3=0.4771$とする。

(1)$3^{30}$は何桁の整数か？

(2)$0.3^{15}$は小数第何位に$0$でない数が現れるか？」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

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2次方程式のように解く方程式

　2次方程式ではないですが2次方程式の解き方で解を求めることができる方程式の例を4つ挙げてみました。

「次の方程式を実数の範囲で解け。

(1)$\large\cos^2θ-\cosθ-\dfrac{3}{4}=0\ (0\leqqθ<2\pi)$

(2)$\large(\log_2x)^2-\log_2x^2-3=0$

(3)$\large5^{2x}-5^{x+1}-50=0$

(4)$\large x+2\sqrt{x}-8=0$」

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