収束または無限大に発散する数列の和・差・積・商の極限をまとめました。
$a_n +b_n$の極限
| $+$ | $b_n$ | |||
|---|---|---|---|---|
| $-\infty$ | $β$ | $\infty$ | ||
| $a_n$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\infty-\infty$ 不定形 |
| $α$ | $-\infty$ | $α+β$ | $\infty$ | |
| $\infty$ | $\infty-\infty$ 不定形 |
$\infty$ | $\infty$ | |
$a_n -b_n$の極限
| $-$ | $b_n$ | |||
|---|---|---|---|---|
| $-\infty$ | $β$ | $\infty$ | ||
| $a_n$ | $-\infty$ | $\infty-\infty$ 不定形 |
$-\infty$ | $-\infty$ |
| $α$ | $\infty$ | $α-β$ | $-\infty$ | |
| $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty-\infty$ 不定形 |
|
$a_n ×b_n$の極限
| $\times$ | $b_n$ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $-\infty$ | $β$ | $\infty$ | |||||
| $β<0$ | $β=0$ | $β>0$ | |||||
| $a_n$ | $-\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $0\times\infty$ 不定形 |
$-\infty$ | $-\infty$ | |
| $α$ | $α<0$ | $\infty$ | $αβ$ | $-\infty$ | |||
| $α=0$ | $0\times\infty$ 不定形 |
$0\times\infty$ 不定形 |
|||||
| $α>0$ | $-\infty$ | $\infty$ | |||||
| $\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $0\times\infty$ 不定形 |
$\infty$ | $\infty$ | ||
$\dfrac{a_n}{b_n}$の極限
$β=0$のときについては、第$N_0+1$項以降のすべての項について$b_n<0$または$b_n>0$の場合を考えます。（$N_0:$自然数）
| $\div$ | $b_n$ | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $-\infty$ | $β$ | $\infty$ | ||||||
| $β<0$ | $β=0$ | $β>0$ | ||||||
| $b_n<0$ | $b_n>0$ | |||||||
| $a_n$ | $-\infty$ | $\dfrac{\infty}{\infty}$ 不定形 |
$\infty$ | $\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\dfrac{\infty}{\infty}$ 不定形 |
|
| $α$ | $α<0$ | $0$ | $\dfrac{α}{β}$ | $\infty$ | $-\infty$ | $\dfrac{α}{β}$ | $0$ | |
| $α=0$ | $0$ | $0$ | $\dfrac{0}{0}$ 不定形 |
$\dfrac{0}{0}$ 不定形 |
$0$ | $0$ | ||
| $α>0$ | $0$ | $\dfrac{α}{β}$ | $-\infty$ | $\infty$ | $\dfrac{α}{β}$ | $0$ | ||
| $\infty$ | $\dfrac{\infty}{\infty}$ 不定形 |
$-\infty$ | $-\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\dfrac{\infty}{\infty}$ 不定形 |
||
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