収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=\beta\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の和の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha +\beta\]
数列の差の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha -\beta\]
数列の積の極限
\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]
数列の商の極限
数列$\{b_n\}$のすべての項で$b_n\neq0$かつ$β≠0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]
なぜこれらは成り立つのでしょうか？
準備
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α$は、数列の収束の定義より
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N_a$が存在して、$n>N_a$を満たすすべての$n$において$|a_n-α|<ε$が成り立つ。
と書け、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=β$も同様に
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N_b$が存在して、$n>N_b$を満たすすべての$n$において$|b_n-β|<ε$が成り立つ。
と書けます。
このとき、各$ε$に対応する$N_a,
N_b$のうち最大のものを$N$とすれば、共通の自然数$N$をもちいて
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
とすることができます。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\ かつ\ |b_n-\beta|<\varepsilon\]
数列の和の極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α, \lim_{n\to\infty}b_n=β$より、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
が成り立ちます。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\ かつ\ |b_n-\beta|<\varepsilon\]
この$n$において、上の2式の辺々を加えて
\begin{equation}|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|<2\varepsilon\end{equation}
とします。
$(1)$の左辺について、三角不等式より
\begin{align*}\bigl|(a_n-\alpha)+(b_n-\beta)\bigr|&\leqq
|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|\\[0.5em]\bigl|(a_n
+b_n)-(\alpha+\beta)\bigr|&\leqq |a_n-\alpha|+|b_n-\beta|\tag2\end{align*}
となります。
$(1), (2)$より
すなわち、数列$\{a_n +b_n\}$について
\begin{align*}\bigl|(a_n +b_n)-(\alpha+\beta)\bigr|&\leqq
|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|<2\varepsilon\\[0.5em]\bigl|(a_n
+b_n)-(\alpha+\beta)\bigr|&<2\varepsilon\end{align*}
となります。すなわち、数列$\{a_n +b_n\}$について
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$\bigl|(a_n
+b_n)-(α+β)\bigr|<2ε$が成り立つ。
という、「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②」で示した数列の収束の定義と同値な条件を満たしているため、
\[\large \lim_{n\to\infty}\bigl(a_n +b_n\bigr)=\alpha+\beta\]
が成り立つことがわかります。
数列の差の極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α, \lim_{n\to\infty}b_n=β$より、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
が成り立ちます。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\ かつ\ |b_n-\beta|<\varepsilon\]
この$n$において、上の2式の辺々を加えて
\begin{align*}|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|&<2\varepsilon\\[0.5em]|a_n-\alpha|+|\beta
-b_n|&<2\varepsilon\tag3\\ &(\because |x|=|-x|)\end{align*}
とします。
$(3)$の左辺について、三角不等式より
\begin{align*}\bigl|(a_n-\alpha)+(\beta -b_n)\bigr|&\leqq
|a_n-\alpha|+|\beta -b_n|\\[0.5em]\bigl|(a_n
-b_n)-(\alpha-\beta)\bigr|&\leqq |a_n-\alpha|+|\beta
-b_n|\tag4\end{align*}
となります。
$(3), (4)$より
すなわち、数列$\{a_n -b_n\}$について
\begin{align*}\bigl|(a_n -b_n)-(\alpha-\beta)\bigr|&\leqq
|a_n-\alpha|+|\beta -b_n|<2\varepsilon\\[0.5em]\bigl|(a_n
-b_n)-(\alpha-\beta)\bigr|&<2\varepsilon\end{align*}
となります。すなわち、数列$\{a_n -b_n\}$について
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$\bigl|(a_n
-b_n)-(α-β)\bigr|<2ε$が成り立つ。
という、「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②」で示した数列の収束の定義と同値な条件を満たしているため、
\[\large \lim_{n\to\infty}\bigl(a_n -b_n\bigr)=\alpha-\beta\]
が成り立つことがわかります。
数列の積の極限
$\lim_{n\to\infty}b_n=β$より、数列$\{b_n\}$は収束するので有界です。
すなわち、
すなわち、
\[|b_n|<K\tag5\]
を満たすような正の数$K$が存在します。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α, \lim_{n\to\infty}b_n=β$より、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
が成り立ちます。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\ かつ\ |b_n-\beta|<\varepsilon\tag6\]
この$n$において、$|a_n b_n-αβ|$について考えると
\begin{align*}|a_n b_n-\alpha\beta|&=|a_n b_n -\alpha b_n +\alpha
b_n -\alpha\beta|\\[0.5em]&=\bigl|(a_n -\alpha)b_n +\alpha(b_n
-\beta)\bigr|\end{align*}
となり、三角不等式より
\begin{align*}\bigl|(a_n -\alpha)b_n +\alpha(b_n -\beta)\bigr|\leqq
\bigl|(a_n -\alpha)b_n\bigr|+\bigl|\alpha(b_n -\beta)\bigr|&=|a_n
-\alpha||b_n|+|\alpha||b_n -\beta|\\ &(\because
|xy|=|x||y|)\\[0.5em]\therefore |a_n b_n-\alpha\beta|&\leqq |a_n
-\alpha||b_n|+|\alpha||b_n -\beta|\end{align*}
となります。
$(5)$より
\begin{align*}|a_n b_n-\alpha\beta|&\leqq |a_n
-\alpha||b_n|+|\alpha||b_n -\beta|<|a_n -\alpha| K+|\alpha||b_n
-\beta|\\[0.5em]|a_n b_n-\alpha\beta|&<|a_n -\alpha|
K+|\alpha||b_n -\beta|\end{align*}
$(6)$より
\begin{align*}|a_n b_n-\alpha\beta|&<|a_n -\alpha| K+|\alpha||b_n
-\beta|<\varepsilon
K+|\alpha|\varepsilon=\bigl(K+|\alpha|\bigr)\varepsilon\\[0.5em]|a_n
b_n-\alpha\beta|&<\bigl(K+|\alpha|\bigr)\varepsilon\end{align*}
となります。なお、$K+|α|$は正の定数です。
したがって、数列$\{a_n b_n\}$について
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|a_n
b_n -αβ|<\bigl(K+|α|\bigr)ε$が成り立つ。
という、「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②」で示した数列の収束の定義と同値な条件を満たしているため、
\[\large\lim_{n\to\infty}a_n b_n=\alpha\beta\]
が成り立つことがわかります。
数列の商の極限
数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n≠0$かつ$β≠0$であるとします。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$より、「収束する数列の極限の性質②」で示したように
\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{\beta}\]
となります。
すると、上で示した数列の積の極限より
\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}&=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\frac{1}{b_n}\\[0.5em]&=\alpha\cdot\frac{1}{\beta}\\[0.5em]&=\frac{\alpha}{\beta}\end{align*}
となります。
したがって、
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]
が成り立つことがわかります。
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