数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で紹介したものとは別の同値な条件もあります。
正の定数$c$をとると、それぞれの同値な条件は以下のようなものです。
収束の定義と同値な条件
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<\textcolor{red}cε$が成り立つ。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>\textcolor{red}cK$が成り立つ。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<\textcolor{red}cL$が成り立つ。
なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？
収束の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における数列の収束の定義は
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の正の数\epsilonに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常に|a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&任意の正の数\epsilonに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常に|a_n-\alpha|<c\varepsilonが成り立つ。\end{aligned}\tag{i}\]
です。
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(1)$を満たす数列が条件$\text{(i)}$も満たすことを確かめます。
定義$(1)$の$ε$を$p$に置き換え、
任意の正の数$p$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<p$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは定義$(1)$そのものです。
これに$p=cε$（ただし、$c:$正の定数、$ε:$任意の正の数）を代入すると
任意の正の数$cε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<cε$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$ε$に依存しない正の定数なので、任意の正の数$ε$に対して$cε$は正の数として一意に定まります。
また、定義$(1)$より、任意の正の数$cε$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、定義$(1)$より、任意の正の数$cε$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[\epsilon\ \rightarrow\ c\epsilon\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$ε$には$cε$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<cε$が成り立つ。
とすることができ、これは条件$\text{(i)}$そのものです。
よって、定義$(1)$を満たす数列が条件$\text{(i)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(i)}$を満たす数列が定義$(1)$も満たすことを確かめます。
条件$\text{(i)}$の$ε$を$q$に置き換え、
任意の正の数$q$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<cq$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは条件$\text{(i)}$そのものです。
これに、$q=\dfrac{ε}{c}$（ただし、$c:$正の定数、$ε:$任意の正の数）を代入すると、
任意の正の数$\dfrac{ε}{c}$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<c\cdot\dfrac{ε}{c}=ε$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$ε$に依存しない正の定数なので、任意の正の数$ε$に対して$\dfrac{ε}{c}$は正の数として一意に定まります。
また、条件$\text{(i)}$より、任意の正の数$\dfrac{ε}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、条件$\text{(i)}$より、任意の正の数$\dfrac{ε}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[\epsilon\ \rightarrow\ \frac{\epsilon}{c}\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$ε$には$\dfrac{ε}{c}$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$が成り立つ。
とすることができ、これは定義$(1)$そのものです。
よって、条件$\text{(i)}$を満たす数列が定義$(1)$も満たすことがわかります。
以上より、定義$(1)$を満たす数列と条件$\text{(i)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(1)$と条件$\text{(i)}$は同値であることがわかります。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における正の無限大に発散の定義は
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の正の数Kに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n>Kが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&任意の正の数Kに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n>cKが成り立つ。\end{aligned}\tag{ii}\]
です。
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(2)$を満たす数列が条件$\text{(ii)}$も満たすことを確かめます。
定義$(2)$の$K$を$P$に置き換え、
任意の正の数$P$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>P$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは定義$(2)$そのものです。
これに$P=cK$（ただし、$c:$正の定数、$K:$任意の正の数）を代入すると
任意の正の数$cK$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>cK$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$K$に依存しない正の定数なので、任意の正の数$K$に対して$cK$は正の数として一意に定まります。
また、定義$(2)$より、任意の正の数$cK$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、定義$(2)$より、任意の正の数$cK$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[K\ \rightarrow\ cK\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$K$には$cK$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>cK$が成り立つ。
とすることができ、これは条件$\text{(ii)}$そのものです。
よって、定義$(2)$を満たす数列が条件$\text{(ii)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(ii)}$を満たす数列が定義$(2)$も満たすことを確かめます。
条件$\text{(ii)}$の$K$を$Q$に置き換え、
任意の正の数$Q$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>cQ$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは条件$\text{(ii)}$そのものです。
これに、$Q=\dfrac{K}{c}$（ただし、$c:$正の定数、$K:$任意の正の数）を代入すると、
任意の正の数$\dfrac{K}{c}$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>c\cdot\dfrac{K}{c}=K$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$K$に依存しない正の定数なので、任意の正の数$K$に対して$\dfrac{K}{c}$は正の数として一意に定まります。
また、条件$\text{(ii)}$より、任意の正の数$\dfrac{K}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、条件$\text{(ii)}$より、任意の正の数$\dfrac{K}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[K\ \rightarrow\ \frac{K}{c}\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$K$には$\dfrac{K}{c}$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。
とすることができ、これは定義$(2)$そのものです。
よって、条件$\text{(ii)}$を満たす数列が定義$(2)$も満たすことがわかります。
以上より、定義$(2)$を満たす数列と条件$\text{(ii)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(2)$と条件$\text{(ii)}$は同値であることがわかります。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における負の無限大に発散の定義は
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の負の数Lに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n<Lが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&任意の負の数Lに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n<cLが成り立つ。\end{aligned}\tag{iii}\]
です。
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(3)$を満たす数列が条件$\text{(iii)}$も満たすことを確かめます。
定義$(3)$の$L$を$P$に置き換え、
任意の負の数$P$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<P$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは定義$(3)$そのものです。
これに$P=cL$（ただし、$c:$正の定数、$L:$任意の負の数）を代入すると
任意の負の数$cL$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<cL$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$L$に依存しない正の定数なので、任意の負の数$L$に対して$cL$は負の数として一意に定まります。
また、定義$(3)$より、任意の負の数$cL$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、定義$(3)$より、任意の負の数$cL$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[L\ \rightarrow\ cL\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$L$には$cL$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<cL$が成り立つ。
とすることができ、これは条件$\text{(iii)}$そのものです。
よって、定義$(3)$を満たす数列が条件$\text{(iii)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(iii)}$を満たす数列が定義$(3)$も満たすことを確かめます。
条件$\text{(iii)}$の$L$を$Q$に置き換え、
任意の負の数$Q$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<cQ$が成り立つ。
とします。文字を置き換えたとしても、これは条件$\text{(iii)}$そのものです。
これに、$Q=\dfrac{L}{c}$（ただし、$c:$正の定数、$L:$任意の負の数）を代入すると、
任意の負の数$\dfrac{L}{c}$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<c\cdot\dfrac{L}{c}=L$が成り立つ。
となります。
ここで、$c$は$L$に依存しない正の定数なので、任意の負の数$L$に対して$\dfrac{L}{c}$は負の数として一意に定まります。
また、条件$\text{(iii)}$より、任意の負の数$\dfrac{L}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
また、条件$\text{(iii)}$より、任意の負の数$\dfrac{L}{c}$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
\[L\ \rightarrow\ \frac{L}{c}\ \rightarrow\ N\]
という2つの対応が組み合わさっており、$L$には$\dfrac{L}{c}$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
したがって、
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。
とすることができ、これは定義$(3)$そのものです。
よって、条件$\text{(iii)}$を満たす数列が定義$(3)$も満たすことがわかります。
以上より、定義$(3)$を満たす数列と条件$\text{(iii)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(3)$と条件$\text{(iii)}$は同値であることがわかります。
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