正の数の実数乗の値と底の間には、以下のような同値関係があります。
正の数の実数乗の値と底の同値関係
正の数$a$と負の実数$x$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\end{align}
正の数$a$と正の実数$x$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\
&\large0<a^x<1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\
&\large1<a^x\end{align}
正の数$a$と$0$でない実数$x$について
\begin{equation}\large a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1\end{equation}
正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係
正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について
\begin{align}\large0<a<1\ \Leftrightarrow\ &\large
a^x>a^y\\[1em]\large a=1\ \Leftrightarrow\
&\large a^x=a^y=1\\[1em]\large1<a\ \Leftrightarrow\ &\large
a^x<a^y\end{align}
正の数$a, b$と負の実数$x$について
\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\
a^x>b^x\end{equation}
正の数$a, b$と正の実数$x$について
\begin{equation}\large a<b\ \Leftrightarrow\
a^x<b^x\end{equation}
正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について
\begin{equation}\large a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x\end{equation}
これらが成り立つことを確かめてみます。
準備
「正の数の実数乗の性質・大小関係」で示した次のことを利用します。
正の数の実数乗の性質
$0<a<1$である正の数$a$と$0$でない実数$x$について
\begin{cases}1<a^x&(x<0)\\[0.5em]0<a^x<1&(x>0)\end{cases}
$a=1$である正の数$a$と実数$x$について、$x$の値にかかわらず常に
\[a^x=1\]
$1<a$である正の数$a$と$0$でない実数$x$について
\begin{cases}0<a^x<1&(x<0)\\[0.5em]1<a^x&(x>0)\end{cases}
正の数の実数乗の大小関係
正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について
\begin{cases}a^x>a^y&(0<a<1)\\[0.5em]a^x=a^y=1&(a=1)\\[0.5em]a^x<a^y&(1<a)\end{cases}
$a<b$である正の数$a, b$と$0$でない実数$x$について
\begin{cases}a^x>b^x&(x<0)\\[0.5em]a^x<b^x&(x>0)\end{cases}
これらより以下のような真なる命題がいえます。
正の数の実数乗の値と底の命題
正の数$a$と負の実数$x$について
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\
&1<a^x\tag{i}\\[1em]a=1\ \Rightarrow\
&a^x=1\tag{ii}\\[1em]1<a\ \Rightarrow\
&0<a^x<1\tag{iii}\end{align*}
正の数$a$と正の実数$x$について
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\
&0<a^x<1\tag{iv}\\[1em]a=1\ \Rightarrow\
&a^x=1\tag{v}\\[1em]1<a\ \Rightarrow\
&1<a^x\tag{vi}\end{align*}
特に、$\text{(ii)}$と$\text{(v)}$をあわせて
正の数$a$と$0$でない実数$x$について
\[a=1\ \Rightarrow\ a^x=1\tag{vii}\]
正の数の実数乗の大小関係と底の命題
正の数$a$と$x<y$である実数$x, y$について
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\
&a^x>a^y\tag{viii}\\[1em]a=1\ \Rightarrow\
a^x=a^y=1\tag{ix}\\[1em]1<a\ \Rightarrow\
&a^x<a^y\tag{x}\end{align*}
正の数$a, b$と負の実数$x$について
\[a<b\ \Rightarrow\ a^x>b^x\tag{xi}\]
正の数$a, b$と正の実数$x$について
\[a<b\ \Rightarrow\ a^x<b^x\tag{xii}\]
正の数の実数乗の値と底の同値関係
$(1)\ 0<a<1\ \Leftrightarrow\ 1<a^x$
負の実数$x$において$(1)$が真であるためには、真なる命題$\text{(i)}$の逆、すなわち
\[1<a^x\ \Rightarrow\ 0<a<1\tag*{(i)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(i)'}$の対偶は
しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[a\leqq0または1\leqq a\ \Rightarrow\ a^x\leqq1\]
となります。しかし、前提で$a$は正の数としているので、
\[1\leqq a\ \Rightarrow\ a^x\leqq1\]
とすることができます。
この命題の真偽を$a=1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $a=1$のとき、$\text{(ii)}$より$a^x=1$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(iii)}$より$0<a^x<1$となります。
（命題参照）
以上より、$1≦a$のとき$a^x≦1$が成り立つので、$\text{(i)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(i)'}$も真であるため、$\text{(i)}$と$\text{(i)'}$より$(1)$が真であることがわかります。
$(2)\ 1<a\ \Leftrightarrow\ 0<a^x<1$
負の実数$x$において$(2)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iii)}$の逆、すなわち
\[0<a^x<1\ \Rightarrow\ 1<a\tag*{(iii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iii)'}$の対偶は、$a$が正の数であることを考えれば
\[0<a\leqq1\ \Rightarrow\ a^x\leqq0または1\leqq a^x\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$a=1$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(i)}$より$1<a^x$となります。
- $a=1$のとき、$\text{(ii)}$より$a^x=1$となります。
（命題参照）
以上より、$0<a≦1$のとき$1≦a^x$が成り立つので、$\text{(iii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iii)'}$も真であるため、$\text{(iii)}$と$\text{(iii)'}$より$(2)$も真であることがわかります。
$(3)\ 0<a<1\ \Leftrightarrow\ 0<a^x<1$
正の実数$x$において$(3)$が真であるためには、真なる命題$\text{(iv)}$の逆、すなわち
\[0<a^x<1\ \Rightarrow\ 0<a<1\tag*{(iv)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(iv)'}$の対偶は、$a$が正の数であることを考えれば
\[1\leqq a\ \Rightarrow\ a^x\leqq0または1\leqq a^x\]
となります。
この命題の真偽を$a=1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $a=1$のとき、$\text{(v)}$より$a^x=1$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(vi)}$より$1<a^x$となります。
（命題参照）
以上より、$1≦a$のとき$1≦a^x$が成り立つので、$\text{(iv)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(iv)'}$も真であるため、$\text{(iv)}$と$\text{(iv)'}$より$(3)$も真であることがわかります。
$(4)\ 1<a\ \Leftrightarrow\ 1<a^x$
正の実数$x$において$(4)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vi)}$の逆、すなわち
\[1<a^x\ \Rightarrow\ 1<a\tag*{(vi)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(vi)'}$の対偶は、$a$が正の数であることを考えれば
\[0<a\leqq1\ \Rightarrow\ a^x\leqq1\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$a=1$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(iv)}$より$0<a^x<1$となります。
- $a=1$のとき、$\text{(v)}$より$a^x=1$となります。
（命題参照）
以上より、$0<a≦1$のとき$a^x≦1$が成り立つので、$\text{(vi)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vi)'}$も真であるため、$\text{(vi)}$と$\text{(vi)'}$より$(4)$も真であることがわかります。
$(5)\ a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=1$
$0$でない実数$x$において$(5)$が真であるためには、真なる命題$\text{(vii)}$の逆、すなわち
\[a^x=1\ \Rightarrow\ a=1\tag*{(vii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(vii)'}$の対偶は
\[a\neq1\ \Rightarrow\ a^x\neq1\]
となります。
この命題の真偽を$x<0$かつ$0<a<1$のときと$x>0$かつ$0<a<1$のとき、$x<0$かつ$1<a$のときと$x>0$かつ$1<a$のときで場合分けして調べます。（$0$でない実数$x$における命題なので、負の実数$x$における命題と正の実数$x$における命題の2つが必要になります。）
- $x<0$かつ$0<a<1$のとき、$\text{(i)}$より$1<a^x$となります。
- $x>0$かつ$0<a<1$のとき、$\text{(iv)}$より$0<a^x<1$となります。
- $x<0$かつ$1<a$のとき、$\text{(iii)}$より$0<a^x<1$となります。
- $x>0$かつ$1<a$のとき、$\text{(vi)}$より$1<a^x$となります。
（命題参照）
以上より、$0$でない実数$x$において$a≠1$のとき$a^x≠1$が成り立つので、$\text{(vii)'}$の対偶は真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(vii)'}$も真であるため、$\text{(vii)}$と$\text{(vii)'}$より$(5)$も真であることがわかります。
ここまで、$x=0$における同値関係を扱っていないのは、$x=0$において実数乗$a^x$と底$a$の間に同値関係がないからです。
整数乗の定義より$0<a<1, a=1,
1<a$のいずれの場合でも$a^0=1$となる、すなわち
正の数$a$についての命題
はすべて真となります。
\begin{align*}0<a<1\ \Rightarrow\ &a^0=1\\[1em]a=1\ \Rightarrow\ &a^0=1\\[1em]1<a\ \Rightarrow\ &a^0=1\end{align*}
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
したがって、$x=0$において実数乗$a^x$と底$a$の間に同値関係はありません。
正の数の実数乗の大小関係と底の同値関係
$(6)\ 0<a<1\ \Leftrightarrow\ a^x>a^y$
$x<y$において$(6)$が真であるためには、真なる命題$\text{(viii)}$の逆、すなわち
\[a^x>a^y\ \Rightarrow\ 0<a<1\tag*{(viii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$(viii)'$の対偶は、$a$が正の数であることを考えれば
\[1\leqq a\ \Rightarrow\ a^x\leqq a^y\]
とできます。
この命題の真偽を$a=1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $a=1$のとき、$\text{(ix)}$より$a^x=a^y=1$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(x)}$より$a^x<a^y$となります。
（命題参照）
以上より、$1≦a$のとき$a^x≦a^y$が成り立つので、$\text{(viii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(viii)'}$も真であるため、$\text{(viii)}$と$\text{(viii)'}$より$(6)$も真であることがわかります。
$(7)\ a=1\ \Leftrightarrow\ a^x=a^y=1$
$x<y$において$(7)$が真であるためには、真なる命題$(ix)$の逆、すなわち
\[a^x=a^y=1\ \Rightarrow\ a=1\tag*{(ix)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(ix)'}$の対偶は
\[a\neq1\ \Rightarrow\ a^x\neq a^yまたはa^x\neq1またはa^y\neq1\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$1<a$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(viii)}$より$a^x>a^y$となります。
- $1<a$のとき、$\text{(x)}$より$a^x<a^y$となります。
（命題参照）
以上より、$a≠1$のとき$a^x≠a^y$が成り立つので、$\text{(ix)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(ix)'}$も真であるため、$\text{(ix)}$と$\text{(ix)'}$より$(7)$も真であることがわかります。
$(8)\ 1<a\ \Leftrightarrow\ a^x<a^y$
$x<y$において$(8)$が真であるためには、真なる命題$\text{(x)}$の逆、すなわち
\[a^x<a^y\ \Rightarrow\ 1<a\tag*{(x)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(x)'}$の対偶は、$a$が正の数であることを考えれば
\[0<a\leqq1\ \Rightarrow\ a^x\geqq a^y\]
となります。
この命題の真偽を$0<a<1$のときと$a=1$のときで場合分けして調べます。
- $0<a<1$のとき、$\text{(viii)}$より$a^x>a^y$となります。
- $a=1$のとき、$\text{(ix)}$より$a^x=a^y=1$となります。
（命題参照）
以上より、$0<a≦1$のとき$a^x≧a^y$が成り立つので、$\text{(x)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(x)'}$も真であるため、$\text{(x)}$と$\text{(x)'}$より$(8)$も真であることがわかります。
$(9)\ a<b\ \Leftrightarrow\ a^x>b^x$
負の実数$x$において$(9)$が真であるためには、真なる命題$(xi)$の逆、すなわち
\[a^x>b^x\ \Rightarrow\ a<b\tag*{(xi)'}\]
が真でなければならないため、これを示します。
$\text{(xi)'}$の対偶は
\[a\geqq b\ \Rightarrow\ a^x\leqq b^x\]
となります。
この命題の真偽を$a=b$のときと$a>b$のときで場合分けして調べます。
- $a=b$のとき、明らかに$a^x=b^x$となります。
- $a>b$のとき、$a$と$b$を入れ替えた$\text{(xi)}$より$a^x<b^x$となります。
（命題参照）
以上より、$a≧b$のとき$a^x≦b^x$が成り立つので、$\text{(xi)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(xi)'}$も真であるので、$\text{(xi)}$と$\text{(xi)'}$より$(9)$も真であることがわかります。
$(10)\ a<b\ \Leftrightarrow\ a^x<b^x$
正の実数$x$において$(10)$が真であるためには、真なる命題$\text{(xii)}$の逆、すなわち
\[a^x<b^x\ \Rightarrow\ a<b\tag*{(xii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(xii)'}$の対偶は
\[a\geqq b\ \Rightarrow\ a^x\geqq b^x\]
となります。
この命題の真偽を$a>b$のときと$a=b$のときで場合分けして調べます。
- $a>b$のとき、$a$と$b$を入れ替えた$\text{(xii)}$より$a^x>b^x$となります。
- $a=b$のとき、明らかに$a^x=b^x$となります。
（命題参照）
以上より、$a≧b$のとき$a^x≧b^x$が成り立つので、$\text{(xii)'}$の対偶は真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(xii)'}$も真であるため、$\text{(xii)}$と$\text{(xii)'}$より$(10)$も真であることがわかります。
$(11)\ a=b\ \Leftrightarrow\ a^x=b^x$
$0$でない実数$x$において$(11)$が真であるためには、自明な命題
\[a=b\ \Rightarrow\ a^x=b^x\tag{xiii}\]
の逆、すなわち
\[a^x=b^x\ \Rightarrow\ a=b\tag*{(xiii)'}\]
が真でなければならないので、これを示します。
$\text{(xiii)'}$の対偶は
\[a\neq b\ \Rightarrow\ a^x\neq b^x\]
となります。
この命題の真偽を$a>b$かつ$x<0$のときと$a>b$かつ$x>0$のとき、$a<b$かつ$x<0$のときと$a<b$かつ$x>0$のときで場合分けして調べます。
- $a>b$かつ$x<0$のとき、$a$と$b$を入れ替えた$\text{(xi)}$より$a^x<b^x$となります。
- $a>b$かつ$x>0$のとき、$a$と$b$を入れ替えた$\text{(xii)}$より$a^x>b^x$となります。
- $a<b$かつ$x<0$のとき、$\text{(xi)}$より$a^x>b^x$となります。
- $a<b$かつ$x>0$のとき、$\text{(xii)}$より$a^x<b^x$となります。
（命題参照）
以上より、$0$でない実数$x$において$a≠b$のとき$a^x≠b^x$が成り立つため、$\text{(xiii)'}$の対偶が真であることがわかります。
したがって、対偶の性質より$\text{(xiii)'}$も真であるため、$\text{(xiii)}$と$\text{(xiii)'}$より$(11)$も真であることがわかります。
$(9), (10),
(11)$で、$x=0$における同値関係を扱っていないのは、$x=0$において実数乗$a^x,
b^x$の大小関係と底$a, b$の大小関係の間に同値関係がないからです。
整数乗の定義より、$a>b, a=b,
a<b$のいずれの場合でも$a^0=b^0=1$となる、すなわち
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
正の数$a, b$についての命題
はそれぞれ真となります。
\begin{gather*}a>b\ \Rightarrow\ a^0=b^0=1\\[1em]a=b\ \Rightarrow\
a^0=b^0=1\\[1em]a<b\ \Rightarrow\ a^0=b^0=1\end{gather*}
しかし、上記のどの命題の逆も、他の命題が反例となって偽となります。
したがって、$x=0$において実数乗$a^x, b^x$の大小関係と底$a, b$の大小関係の間に同値関係はありません。
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