収束する数列の極限には、以下のような性質があります。
数列$\{a_n\}, \{b_n\}$について
\begin{gather*}\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\\[1em]\lim_{n\to\infty}b_n=0\end{gather*}
が成り立つとします。
数列の定数倍の極限
$k$を任意の実数とすると
\[\large \lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]
数列の逆数の極限
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$かつ$α≠0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n>0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\infty\]
数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n<0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=-\infty\]
なぜこれらが成り立つのでしょうか？
数列の定数倍の極限
$k=0$と$k≠0$で場合分けして考えます。
$k=0$のとき
$k a_n=0$、すなわち数列$\{k
a_n\}$はすべての項が$0$の定数列、そして$kα=0$となります。
したがって、任意の正の数$ε$を与えると、常に
\[|k a_n-k\alpha|=|0-0|=0<\varepsilon\]
が成り立つので、数列の収束の定義を満たし、$k=0$のとき
\[\lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]
が成り立つことがわかります。
$k≠0$のとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α$とは、数列の収束の定義より
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
が成り立つことです。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\]
この$n$において、上式の両辺に$|k|$を掛けると、$|k|>0$なので
\begin{align*}|k||a_n-\alpha|&<|k|\varepsilon\\[0.5em]|k
a_n-k\alpha|&<|k|\varepsilon&(\because
|x||y|=|xy|)\end{align*}
となります。
すなわち、
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|k
a_n-k\alpha|<|k|\varepsilon$が成り立つ。
は「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件②」で示した数列の収束の定義と同値な条件を満たしているので、$k≠0$のとき
\[\lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]
が成り立つことがわかります。
以上より、任意の実数$k$で
\[\large\lim_{n\to\infty}k a_n=k\alpha\]
が成り立つことがわかります。
数列の逆数の極限
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{α}$
数列$\{a_n\}$のすべての項について$a_n≠0$かつ$α≠0$であるとします。
三角不等式より
\begin{align*}|\alpha|=\bigl|(\alpha -a_n)+a_n\bigr|&\leqq |\alpha
-a_n|+|a_n|\\[0.5em]&=|a_n-\alpha|+|a_n|&(\because
|x|=|-x|)\\[0.5em]|\alpha|&\leqq |a_n-\alpha|+|a_n|\\[0.5em]|a_n|&\geqq
|\alpha|-|a_n-\alpha|\tag1\end{align*}
となります。
次に、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=α$とは、「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件①」で示した数列の収束の定義と同値な条件より
$0<ε<\dfrac{|α|}{2}$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において
が成り立つことです。
\[|a_n-\alpha|<\varepsilon\tag2\]
この$n$において、上式は$0<ε<\dfrac{|α|}{2}$より
\[|a_n-\alpha|<\frac{|\alpha|}{2}\]
となり、さらに変形すれば
\begin{align*}-|a_n-\alpha|&>-\frac{|\alpha|}{2}\\[0.5em]|\alpha|-|a_n-\alpha|&>|\alpha|-\frac{|\alpha|}{2}=\frac{|\alpha|}{2}\end{align*}
$(1)$より
\begin{align*}|a_n|&\geqq|\alpha|-|a_n-\alpha|>\frac{|\alpha|}{2}\\[0.5em]|a_n|&>\frac{|\alpha|}{2}\\[0.5em]\frac{1}{|a_n|}&<\frac{2}{|\alpha|}\tag3\end{align*}
を得ます。
同じくこの$n$において、$\left|\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{α}\right|$について考えると
\begin{align*}\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\alpha}\right|&=\left|\frac{\alpha
-a_n}{\alpha a_n}\right|\\[0.5em]&=\frac{|\alpha -a_n|}{|\alpha
a_n|}&\left(\because
\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}\right)\\[0.5em]&=\frac{|a_n-\alpha|}{|\alpha||a_n|}\\[0.5em]\therefore
\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\alpha}\right|&=\frac{|a_n-\alpha|}{|\alpha|}\cdot\frac{1}{|a_n|}\end{align*}
となり、$(3)$より
\[\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\alpha}\right|<\frac{|a_n-\alpha|}{|\alpha|}\cdot\frac{2}{|\alpha|}=\frac{2}{|\alpha|^2}
|a_n-\alpha|\]
$(2)$より
\begin{align*}\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\alpha}\right|<\frac{2}{|\alpha|^2}
|a_n-\alpha|&<\frac{2}{|\alpha|^2}\varepsilon\\[0.5em]\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\alpha}\right|&<\frac{2}{|\alpha|^2}\varepsilon\end{align*}
となります。なお、$\dfrac{2}{|\alpha|^2}$は正の定数です。
したがって、数列$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$について
$0<ε<\dfrac{|α|}{2}$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$\left|\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{α}\right|<\dfrac{2}{|α|^2}ε$が成り立つ。
という「数列の収束・無限大に発散の定義と同値な条件③」で示した数列の収束の定義と同値な条件を満たしているため、
\[\large \lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\alpha}\]
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{b_n}=\infty\quad(b_n>0)$
数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n>0$であるとします。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$とは、数列の収束の定義より
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|b_n-0|=|b_n|<ε$
が成り立つことです。
ここで、$ε$より先に決まる任意の正の数$K$があり、$ε=\dfrac{1}{K}$によって$ε$が決まっているとします。
すると、任意の正の数$K$を決めれば、$ε$は正の数として一意に定まります。
また、数列の収束の定義より、任意の正の数$ε$に対応する自然数$N$が存在します。
すると、任意の正の数$K$を決めれば、$ε$は正の数として一意に定まります。
また、数列の収束の定義より、任意の正の数$ε$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
このことから、数列の収束の定義は、次のように書き換えることができます。
\[K\ \rightarrow\ \varepsilon\ \rightarrow\ N\]
と対応付けられるため、$K$には$ε$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
このことから、数列の収束の定義は、次のように書き換えることができます。
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|b_n-0|=|b_n|<\dfrac{1}{K}$が成り立つ。
この$n$において、$b_n>0$より$|b_n|=b_n$なので
\begin{align*}b_n&<\frac{1}{K}\\[0.5em]\frac{1}{b_n}&>K\end{align*}
となります。
したがって、
任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$\dfrac{1}{b_n}>K$が成り立つ。
とすることができ、これは数列$\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}$における正の無限大に発散の定義そのものです。
よって、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n>0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=\infty\]
が成り立つことがわかります。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{b_n}=-\infty\quad(b_n<0)$
数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n<0$であるとします。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$とは、数列の収束の定義より
任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|b_n-0|=|b_n|<ε$
が成り立つことです。
ここで、$ε$より先に決まる任意の負の数$L$があり、$ε=-\dfrac{1}{L}$によって$ε$が決まっているとします。
すると、任意の負の数$L$を決めれば、$ε$は正の数として一意に定まります。
また、数列の収束の定義より、任意の正の数$ε$に対応する自然数$N$が存在します。
すると、任意の負の数$L$を決めれば、$ε$は正の数として一意に定まります。
また、数列の収束の定義より、任意の正の数$ε$に対応する自然数$N$が存在します。
すなわち、
このことから、数列の収束の定義は、次のように書き換えることができます。
\[L\ \rightarrow\ \varepsilon\ \rightarrow\ N\]
と対応付けられるため、$L$には$ε$を経由する形で対応する$N$が存在するといえます。
このことから、数列の収束の定義は、次のように書き換えることができます。
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$|b_n-0|=|b_n|<-\dfrac{1}{L}$が成り立つ。
この$n$において、$b_n<0$より$|b_n|=-b_n$なので
\begin{align*}-b_n&<-\frac{1}{L}\\[0.5em]b_n&>\frac{1}{L}\\[0.5em]\frac{1}{b_n}&<L\end{align*}
となります。
したがって、
任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において$\dfrac{1}{b_n}<L$が成り立つ。
とすることができ、これは数列$\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}$における負の無限大に発散の定義そのものです。
よって、数列$\{b_n\}$のすべての項について$b_n<0$であるとき
\[\large\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}=-\infty\]
が成り立つことがわかります。
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