三角不等式とは、三角形の辺の長さの性質を表す不等式であり、ベクトル$\vec{x},
\vec{y}$における三角不等式は
\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{y}|\]
となります。（三角関数を含む不等式も三角不等式と呼ぶことがありますが、これとは異なるものです。）
なぜこれが成り立つのでしょうか？
2つの幾何ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$（ただし、$\vec{x},
\vec{y}\neq\vec{0}$）を考えます。また、これらのなす角を$θ$とします。
$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|$と$|\vec{x}+\vec{y}|$の大小関係と、$|\vec{x}+\vec{y}|$と$|\vec{x}|+|\vec{y}|$の大小関係に分けて調べます。
まずは$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|, |\vec{x}+\vec{y}|,$ $|\vec{x}|+|\vec{y}|$をそれぞれ2乗します。
まずは$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|, |\vec{x}+\vec{y}|,$ $|\vec{x}|+|\vec{y}|$をそれぞれ2乗します。
$|\vec{x}+\vec{y}|^2$は内積の定義と性質より
\begin{align*}|\vec{x}+\vec{y}|^2&=(\vec{x}+\vec{y})\cdot(\vec{x}+\vec{y})\\[0.5em]&=\vec{x}\cdot\vec{x}+\vec{y}\cdot\vec{y}+2\vec{x}\cdot\vec{y}\\[0.5em]&=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta\tag1\end{align*}
$\bigl(|\vec{x}|+|\vec{y}|\bigr)^2$は
\[\bigl(|\vec{x}|+|\vec{y}|\bigr)^2=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+2|\vec{x}||\vec{y}|\tag2\]
$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|^2$は
\begin{align*}\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|^2&=\bigl(|\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr)^2\\[0.5em]&=|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2-2|\vec{x}||\vec{y}|\tag3\end{align*}
となります。
$(1)-(2)$より
\begin{align*}|\vec{x}+\vec{y}|^2-\bigl(|\vec{x}|+|\vec{y}|\bigr)^2&=2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta-2|\vec{x}||\vec{y}|\\[0.5em]&=2|\vec{x}||\vec{y}|(\cos\theta-1)\end{align*}
となり、$\cosθ≦1$であることから$\cosθ-1≦0$、そして$2|\vec{x}||\vec{y}|≧0$なので
\[2|\vec{x}||\vec{y}|(\cos\theta-1)\leqq0\]
すなわち
\begin{align*}|\vec{x}+\vec{y}|^2-\bigl(|\vec{x}|+|\vec{y}|\bigr)^2&\leqq0\\[0.5em]|\vec{x}+\vec{y}|^2&\leqq\bigl(|\vec{x}|+|\vec{y}|\bigr)^2\end{align*}
です。
$|\vec{x}+\vec{y}|$と$|\vec{x}|+|\vec{y}|$はともに非負なので、
\[\large |\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\tag4\]
が成り立つことがわかります。
今度は、$(3)-(1)$より
\begin{align*}\bigl(|\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr)^2-|\vec{x}+\vec{y}|^2&=-2|\vec{x}||\vec{y}|-2|\vec{x}||\vec{y}|\cos\theta\\[0.5em]&=-2|\vec{x}||\vec{y}|(1+\cos\theta)\end{align*}
となり、$-1≦\cosθ$であることから$1+\cosθ≧0$、そして$-2|\vec{x}||\vec{y}|≦0$なので
\[-2|\vec{x}||\vec{y}|(1+\cos\theta)\leqq0\]
すなわち
\begin{align*}\bigl(|\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr)^2-|\vec{x}+\vec{y}|^2&\leqq0\\[0.5em]\bigl(|\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr)^2&\leqq
|\vec{x}+\vec{y}|^2\end{align*}
です。
$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|$と$|\vec{x}+\vec{y}|$はともに非負なので、
\[\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\tag5\]
となることがわかります。
$(4), (5)$より
\[\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{y}|\]
が成り立つことがわかります。
最初に$\vec{x},
\vec{y}\neq\vec{0}$としたので、上式が$\vec{x}=\vec{0}$または$\vec{y}=\vec{0}$のとき成り立つかを確かめます。
$\vec{x}=\vec{0}$のとき
\begin{gather*}\bigl||\vec{0}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq
|\vec{0}+\vec{y}|\leqq
|\vec{0}|+|\vec{y}|\\[0.5em]\bigl|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{y}|\leqq
|\vec{y}|\\[0.5em]|\vec{y}|=|\vec{y}|=|\vec{y}|\end{gather*}
となり、成り立ちます。
$\vec{y}=\vec{0}$のとき
\begin{gather*}\bigl||\vec{x}|-|\vec{0}|\bigr|\leqq
|\vec{x}+\vec{0}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{0}|\\[0.5em]\bigl||\vec{x}|\bigr|\leqq |\vec{x}|\leqq
|\vec{x}|\\[0.5em]|\vec{x}|=|\vec{x}|=|\vec{x}|\end{gather*}
となり、成り立ちます。
$\vec{x}=\vec{0}$かつ$\vec{y}=\vec{0}$のとき
\begin{gather*}\bigl||\vec{0}|-|\vec{0}|\bigr|\leqq
|\vec{0}+\vec{0}|\leqq |\vec{0}|+|\vec{0}|\\[0.5em]|0|\leqq
|\vec{0}|\leqq0\\[0.5em]0=0=0\end{gather*}
となり、成り立ちます。
したがって、任意の幾何ベクトル$\vec{x}, \vec{y}$について
\[\large \bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{y}|\]
が成り立つことがわかります。
ちなみに、
\[\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\geqq |\vec{x}|-|\vec{y}|\]
が成り立つことから、
\begin{gather*}|\vec{x}|-|\vec{y}|\leqq
\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq |\vec{x}+\vec{y}|\leqq
|\vec{x}|+|\vec{y}|\\[0.5em]\large\therefore |\vec{x}|-|\vec{y}|\leqq
|\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|\end{gather*}
も成り立つことがわかります。
三角形との関係
そして、ベクトルの絶対値$|\vec{x}|, |\vec{y}|, |\vec{x}+\vec{y}|$は、それぞれのベクトルがつくる三角形の辺の長さとなります。
ところで、三角形の成立条件とは、
どの三角形の1辺の長さも、他の2辺の長さの和より短い
すなわち、三角形の辺の長さをそれぞれ$a, b, c$とすると
\begin{gather*}a<b +c\tag{i}\\[1em]b<c +a\tag{ii}\\[1em]c<a
+b\tag{iii}\end{gather*}
が成り立つという三角形の辺の長さの性質のことです。
$\text{(ii)}, \text{(iii)}$はそれぞれ
\begin{align*}\text{(ii)}:\\ &b-c<a\\[1em]\text{(iii)}:\\
&c-b<a\end{align*}
と変形でき、これらを合わせて
\[|b-c|<a\]
と書けます。
また、これと$\text{(i)}$より
\[|b-c|<a<b+c\]
となり、幾何ベクトルにおける三角不等式と同じ形の不等式を得ます。
したがって、幾何ベクトルにおける三角不等式はこの三角形の成立条件と対応する不等式であることがわかります。
幾何ベクトルにおける三角不等式では等号付き不等号をもちいているのは、$\vec{x},
\vec{y}$が互いに平行、あるいは零ベクトルとなり、三角形ができない場合も含むためです。
$\vec{x}, \vec{y}\neq\vec{0}$のとき、$\bigl||\vec{x}|-|\vec{y}|\bigr|\leqq
|\vec{x}+\vec{y}|$の部分の等号成立条件は$\vec{x},
\vec{y}$が互いに逆向きのとき、
$|\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|$の部分の等号成立条件は$\vec{x}, \vec{y}$が同じ向きのときです。
$|\vec{x}+\vec{y}|\leqq |\vec{x}|+|\vec{y}|$の部分の等号成立条件は$\vec{x}, \vec{y}$が同じ向きのときです。
また、上で示した通り$\vec{x}=\vec{0}$または$\vec{y}=\vec{0}$のとき、どちらの部分も等号が成り立ちます。
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