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2022年8月5日

五芒星の各線分の長さ

五芒星
 五芒星の各線分の長さはどのようになるのでしょうか?

 上図のように線分同士の交点にアルファベットを振ります。
五芒星に外接する正五角形
そして線分AB,BC,CD,DE,EAを引いて大きな正五角形ABCDEをつくり、この正五角形の1辺の長さを1として各線分の長さを求めます。

△ABE
 △ABEを利用して線分BEの長さを求めます。
正五角形ABCDEの1つの内角の大きさは108°なので、△ABEは頂角が108°、等辺の長さが1の二等辺三角形です。
余弦定理より
BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cos∠BAE
なので
\begin{align*}BE^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}
ここで、
\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}
となるので、
\begin{align*}BE^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]BE&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because BE>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}
であるとわかります。
AD=BE=CA=DB=ECなので、この長さは線分AD,CA,DB,ECの長さでもあります。

 さらにこの線分を交点で分割してそれぞれの長さを調べます。
五芒星の中の等脚台形
四角形BCDEに着目すると二等辺三角形ABEの底角は36°であるから∠CBE=∠DEB=72°となります。
また、∠BCD=∠CDE=108°であるため四角形BCDEは等脚台形であることがわかります。
このことからBE//CDであることがわかります。

同様に四角形ABCDも等脚台形であるためAD//BCであることがわかります。

BE//CD,AD//BCより四角形BCDJは平行四辺形であり、対辺の長さが等しいためCD=BJ=1となります。

このことから線分JEの長さはJE=BE-BJで求められるので
\begin{align*}JE&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}
となります。これは線分AF,AJ,BF,BG,CG,CH,DH,DI,EI,EJの長さでもあります。
また、四角形ACDEが等脚台形であることから上記と同様にしてBF=JEであるとわかり、線分FJの長さはFJ=BE-2JEで求められるので
\begin{align*}FJ&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{align*}
となります。これは線分FG,GH,HI,IJの長さでもあります。

したがって、各線分の長さは下図のようになります。
五芒星の各線分の長さ
また、五芒星で最も長い線分の長さを1とした場合は下図のようになります。
各線分の長さを\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}で割ったものとなります。
五芒星の各線分の長さ(2)
(2024/5)加筆修正しました。
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