五芒星の各線分の長さ ~ 数学について考えてみる

2022年8月5日

五芒星の各線分の長さ

PLUMBAGO

　五芒星の各線分の長さはどのようになるのでしょうか？

　上図のように線分同士の交点にアルファベットを振ります。

そして線分$\text{AB},\text{BC},\text{CD},\text{DE},\text{EA}$を引いて大きな正五角形$\text{ABCDE}$をつくり、この正五角形の1辺の長さを$1$として各線分の長さを求めます。

　$△\text{ABE}$を利用して線分$\text{BE}$の長さを求めます。
正五角形$\text{ABCDE}$の1つの内角の大きさは$108°$なので、$△\text{ABE}$は頂角が$108°$、等辺の長さが$1$の二等辺三角形です。

余弦定理より

\[\text{BE}^2=\text{AB}^2+\text{AE}^2-2\text{AB}\cdot \text{AE}\cos∠\text{BAE}\]

なので

\begin{align*}\text{BE}^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}

ここで、

\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}

となるので、

\begin{align*}\text{BE}^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]\text{BE}&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because \text{BE}>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}

であるとわかります。

$\text{AD}=\text{BE}=\text{CA}=\text{DB}=\text{EC}$なので、この長さは線分$\text{AD},\text{CA},\text{DB},\text{EC}$の長さでもあります。

　さらにこの線分を交点で分割してそれぞれの長さを調べます。

四角形$\text{BCDE}$に着目すると二等辺三角形$\text{ABE}$の底角は$36°$であるから$∠\text{CBE}=∠\text{DEB}=72°$となります。
また、$∠\text{BCD}=∠\text{CDE}=108°$であるため四角形$\text{BCDE}$は等脚台形であることがわかります。
このことから$\text{BE}//\text{CD}$であることがわかります。

同様に四角形$\text{ABCD}$も等脚台形であるため$\text{AD}//\text{BC}$であることがわかります。

$\text{BE}//\text{CD},\text{AD}//\text{BC}$より四角形$\text{BCDJ}$は平行四辺形であり、対辺の長さが等しいため$\text{CD}=\text{BJ}=1$となります。

このことから線分$\text{JE}$の長さは$\text{JE}=\text{BE}-\text{BJ}$で求められるので

\begin{align*}\text{JE}&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}

となります。これは線分$\text{AF},\text{AJ},\text{BF},\text{BG},\text{CG},\text{CH},\text{DH},\text{DI},\text{EI},\text{EJ}$の長さでもあります。

また、四角形$\text{ACDE}$が等脚台形であることから上記と同様にして$\text{BF}=\text{JE}$であるとわかり、線分$\text{FJ}$の長さは$\text{FJ}=\text{BE}-2\text{JE}$で求められるので

\begin{align*}\text{FJ}&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{align*}

となります。これは線分$\text{FG},\text{GH},\text{HI},\text{IJ}$の長さでもあります。

したがって、各線分の長さは下図のようになります。