五芒星の各線分の長さ

　五芒星の各線分の長さはどのようになるのでしょうか？

　上図のように線分同士の交点にアルファベットを振ります。

そして線分$AB,BC,CD,DE,EA$を引いて大きな正五角形$ABCDE$をつくり、この正五角形の1辺の長さを$1$として各線分の長さを求めます。

　$△ABE$を利用して線分$BE$の長さを求めます。
正五角形$ABCDE$の1つの内角の大きさは$108°$なので、$△ABE$は頂角が$108°$、等辺の長さが$1$の二等辺三角形です。

余弦定理より

$$BE^2=AB^2+AE^2-2AB\cdot AE\cos∠BAE$$

なので

$$\begin{align*}BE^2&=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cos108°\\[0.5em]&=2-2\cos108°\end{align*}$$

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ここで、

$$\begin{align*}\cos108°&=\cos(180°-72°)\\[0.5em]&=-\cos72°\\[0.5em]&=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}$$

となるので、

$$\begin{align*}BE^2&=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]BE&=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}&(\because BE>0)\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{2^2}}\\[0.5em]&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$

であるとわかります。

$AD=BE=CA=DB=EC$なので、この長さは線分$AD,CA,DB,EC$の長さでもあります。

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　さらにこの線分を交点で分割してそれぞれの長さを調べます。

四角形$BCDE$に着目すると二等辺三角形$ABE$の底角は$36°$であるから$∠CBE=∠DEB=72°$となります。
また、$∠BCD=∠CDE=108°$であるため四角形$BCDE$は等脚台形であることがわかります。
このことから$BE//CD$であることがわかります。

同様に四角形$ABCD$も等脚台形であるため$AD//BC$であることがわかります。

$BE//CD,AD//BC$より四角形$BCDJ$は平行四辺形であり、対辺の長さが等しいため$CD=BJ=1$となります。

このことから線分$JE$の長さは$JE=BE-BJ$で求められるので

$$\begin{align*}JE&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{align*}$$

となります。これは線分$AF,AJ,BF,BG,CG,CH,DH,DI,EI,EJ$の長さでもあります。

また、四角形$ACDE$が等脚台形であることから上記と同様にして$BF=JE$であるとわかり、線分$FJ$の長さは$FJ=BE-2JE$で求められるので

$$\begin{align*}FJ&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\[0.5em]&=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{align*}$$

となります。これは線分$FG,GH,HI,IJ$の長さでもあります。

したがって、各線分の長さは下図のようになります。

また、五芒星で最も長い線分の長さを$1$とした場合は下図のようになります。
各線分の長さを$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$で割ったものとなります。

(2024/5)加筆修正しました。

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