(1)3N
(2)N^2
(3)N^2+3N+1」
(1)3N
ここで、Nを5で割ったときの余り2を3倍したものから3Nを5で割ったときの余りを求めていることに着目すると、Nをm倍したmNを5で割ったときの余りを求めるには
\begin{align*}mN&=m(5k+2)\\ \\ &=5mk+2m\end{align*}
となることを考えると5mkは5の倍数なので5で割り切れて余りは0になるから、2mを5で割ったときの余りがmNを5で割ったときの余りとなります。
3Nを5で割ったときの余りは、Nを5で割ったときの余りを3倍したものを5で割ったときの余りと等しいから
2×3÷5=1\ 余り1
したがって、3Nを5で割ったときの余りは1
(2)N^2
ここで、Nを5で割ったときの余り2を2乗したものからN^2を5で割ったときの余りを求めていることに着目すると、Nをm乗したN^mを5で割ったときの余りを求めるには、二項定理より
\begin{align*}N^m&=(5k+2)^m\\ \\ &=(5k)^m+m(5k)^{m-1}\cdot2+{_mC_2}(5k)^{m-2}\cdot2^2+\cdots\\ &\qquad+{_mC_{m-2}}(5k)^2\cdot2^{m-2}+m\cdot5k\cdot2^{m-1}+2^m\\ \\ &=5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdots\\ &\qquad+{_mC_{m-2}}\cdot5k\cdot2^{m-2}+m\cdot2^{m-1}\}+2^m\end{align*}
となることを考えると、5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdotsの項は5の倍数なので5で割り切れて余りは0になるから、2^mを5で割ったときの余りがN^mを5で割ったときの余りとなります。
N^2を5で割ったときの余りは、Nを5で割ったときの余りを2乗したものを5で割ったときの余りと等しいから
2^2÷5=0\ 余り4
したがって、N^2を5で割ったときの余りは4
(3)N^2+3N+1
ここで、N^2を5で割ったときの余りと3Nを5で割ったときの余り、1を5で割ったときの余りの和からN^2+3N+1を5で割ったときの余りを求めていることに着目すると、M=5l+m、すなわち5で割るとm余る整数Mと整数Nの和M+Nを5で割ったときの余りを求めるには
\begin{align*}M+N&=(5l+m)+(5k+2)\\ \\ &=5(k+l)+(m+2)\end{align*}
となることを考えると、5(k+l)は5の倍数なので5で割り切れて余りが0になるから、m+2を5で割ったときの余りがM+Nを5で割ったときの余りとなります。
この性質がわかっていればこのように解くこともできます。