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2022年8月2日

整数Nの整数倍の余り、2乗の余り

「整数N5で割ると2余る。このとき次の数を5で割ったときの余りを求めよ。

(1)3N

(2)N^2

(3)N^2+3N+1

 このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 整数N5で割ると2余るということは、言い換えれば整数Nより2小さい数であれば5で割り切れるということです。このときの商をkとすれば
(N-2)÷5=k
と書くことができ、これを変形すれば
\begin{align*}N-2&=5k\\ \\ N&=5k+2&\cdots(a)\end{align*}
となります。
(a)の式は整数N5で割ると商はk、余りが2である数であることを表しています。

(1)3N

 (a)の両辺を3倍すると
\begin{align*}3N&=3(5k+2)\\ \\ &=15k+6\\ \\ &=15k+5+1\\ \\ &=5(3k+1)+1\end{align*}
のように変形でき、3N5で割ったときの商は3k+1、余りは1であるとわかります。

 ここで、N5で割ったときの余り23倍したものから3N5で割ったときの余りを求めていることに着目すると、Nm倍したmN5で割ったときの余りを求めるには
\begin{align*}mN&=m(5k+2)\\ \\ &=5mk+2m\end{align*}
となることを考えると5mk5の倍数なので5で割り切れて余りは0になるから、2m5で割ったときの余りがmN5で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

3N5で割ったときの余りは、N5で割ったときの余りを3倍したものを5で割ったときの余りと等しいから
2×3÷5=1\ 余り1
したがって、3N5で割ったときの余りは1


(2)N^2

 (a)の両辺を2乗すると
\begin{align*}N^2&=(5k+2)^2\\ \\ &=25k^2+20k+4\\ \\ &=5(5k^2+4k)+4\end{align*}
のように変形でき、N^2を5で割ったときの商は5k^2+4k、余りは4であるとわかります。

 ここで、N5で割ったときの余り2を2乗したものからN^25で割ったときの余りを求めていることに着目すると、Nm乗したN^m5で割ったときの余りを求めるには、二項定理より
\begin{align*}N^m&=(5k+2)^m\\ \\ &=(5k)^m+m(5k)^{m-1}\cdot2+{_mC_2}(5k)^{m-2}\cdot2^2+\cdots\\ &\qquad+{_mC_{m-2}}(5k)^2\cdot2^{m-2}+m\cdot5k\cdot2^{m-1}+2^m\\ \\ &=5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdots\\ &\qquad+{_mC_{m-2}}\cdot5k\cdot2^{m-2}+m\cdot2^{m-1}\}+2^m\end{align*}
となることを考えると、5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdotsの項は5の倍数なので5で割り切れて余りは0になるから、2^m5で割ったときの余りがN^m5で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

N^25で割ったときの余りは、N5で割ったときの余りを2乗したものを5で割ったときの余りと等しいから
2^2÷5=0\ 余り4
したがって、N^25で割ったときの余りは4


(3)N^2+3N+1

 (1)、(2)の辺々を足し、両辺に1を足すと
\begin{align*}N^2+3N+1&=\{5(5k^2+4k)+4\}+\{5(3k+1)+1\}+1\\ \\ &=5(5k^2+7k+1)+6\\ \\ &=5(5k^2+7k+1)+5+1\\ \\ &=5(5k^2+7k+2)+1\end{align*}
と変形でき、N^2+3N+1を5で割ったときの商は5k^2+7k+2、余りは1であるとわかります。

 ここで、N^25で割ったときの余りと3N5で割ったときの余り、15で割ったときの余りの和からN^2+3N+15で割ったときの余りを求めていることに着目すると、M=5l+m、すなわち5で割るとm余る整数Mと整数Nの和M+N5で割ったときの余りを求めるには
\begin{align*}M+N&=(5l+m)+(5k+2)\\ \\ &=5(k+l)+(m+2)\end{align*}
となることを考えると、5(k+l)は5の倍数なので5で割り切れて余りが0になるから、m+25で割ったときの余りがM+N5で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

N^2+3N+15で割ったときの余りは、N^25で割ったときの余りと3N5で割ったときの余りと15で割ったときの余りの和を5で割ったときの余りと等しいから
(1+4+1)÷5=1\ 余り1
したがって、N^2+3N+15で割ったときの余りは1であるとわかります。
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