整数Nの整数倍の余り、2乗の余り ~ 数学について考えてみる

「整数

N

$N$ は

5

$5$ で割ると

2

$2$ 余る。このとき次の数を

5

$5$ で割ったときの余りを求めよ。

(1) $3N$

(2) $N^2$

(3)

N^{2} + 3 N + 1

$N^2+3N+1$ 」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　整数

N

$N$ は

5

$5$ で割ると

2

$2$ 余るということは、言い換えれば整数

N

$N$ より

2

$2$ 小さい数であれば

5

$5$ で割り切れるということです。このときの商を

k

$k$ とすれば

(N - 2) \div 5 = k

$(N-2)÷5=k$

と書くことができ、これを変形すれば

\begin{matrix} N - 2 & = 5 k N & = 5 k + 2 \\ (a) \end{matrix}

$\begin{align*}N-2&=5k\\[0.5em]N&=5k+2\tag{a}\end{align*}$

となります。

(a)

$\text{(a)}$ の式は整数

N

$N$ は

5

$5$ で割ると商は

k

$k$ 、余りが

2

$2$ である数であることを表しています。

(1) $3N$

(a)

$\text{(a)}$ の両辺を

3

$3$ 倍すると

\begin{matrix} 3 N & = 3 (5 k + 2) = 15 k + 6 = 15 k + 5 + 1 = 5 (3 k + 1) + 1 \end{matrix}

$\begin{align*}3N&=3(5k+2)\\[0.5em]&=15k+6\\[0.5em]&=15k+5+1\\[0.5em]&=5(3k+1)+1\end{align*}$

のように変形でき、

3 N

$3N$ を

5

$5$ で割ったときの商は

3 k + 1

$3k+1$ 、余りは

1

$\mathbf{1}$ であるとわかります。

　ここで、

N

$N$ を

5

$5$ で割ったときの余り

2

$2$ を

3

$3$ 倍したものから

3 N

$3N$ を

5

$5$ で割ったときの余りを求めていることに着目すると、

N

$N$ を

m

$m$ 倍した

m N

$mN$ を

5

$5$ で割ったときの余りを求めるには

\begin{matrix} m N & = m (5 k + 2) = 5 m k + 2 m \end{matrix}

$\begin{align*}mN&=m(5k+2)\\[0.5em]&=5mk+2m\end{align*}$

となることを考えると

5 m k

$5mk$ は

5

$5$ の倍数なので

5

$5$ で割り切れて余りは

0

$0$ になるから、

2 m

$2m$ を

5

$5$ で割ったときの余りが

ｍ N

$ｍN$ を

5

$5$ で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

3 N

$3N$ を

5

$5$ で割ったときの余りは、

N

$N$ を

5

$5$ で割ったときの余りを3倍したものを

5

$5$ で割ったときの余りと等しいから

2 \times 3 \div 5 = 1 余 り 1

$2×3÷5=1\ 余り1$

したがって、

3 N

$3N$ を

5

$5$ で割ったときの余りは

1

$\mathbf{1}$ 。

(2) $N^2$

(a)

$\text{(a)}$ の両辺を2乗すると

\begin{matrix} N^{2} & = (5 k + 2)^{2} = 25 k^{2} + 20 k + 4 = 5 (5 k^{2} + 4 k) + 4 \end{matrix}

$\begin{align*}N^2&=(5k+2)^2\\[0.5em]&=25k^2+20k+4\\[0.5em]&=5(5k^2+4k)+4\end{align*}$

のように変形でき、

N^{2}

$N^2$ を5で割ったときの商は

5 k^{2} + 4 k

$5k^2+4k$ 、余りは

4

$\mathbf{4}$ であるとわかります。

　ここで、

N

$N$ を

5

$5$ で割ったときの余り

2

$2$ を2乗したものから

N^{2}

$N^2$ を

5

$5$ で割ったときの余りを求めていることに着目すると、

N

$N$ を

m

$m$ 乗した

N^{m}

$N^m$ を

5

$5$ で割ったときの余りを求めるには、二項定理より

\begin{matrix} N^{m} & = (5 k + 2)^{m} = (5 k)^{m} + m (5 k)^{m - 1} \cdot 2 +_{m} C_{2} (5 k)^{m - 2} \cdot 2^{2} + \dots +_{m} C_{m - 2} (5 k)^{2} \cdot 2^{m - 2} + m \cdot 5 k \cdot 2^{m - 1} + 2^{m} = 5 k {(5 k)^{m - 1} + m (5 k)^{m - 2} \cdot 2 + \dots +_{m} C_{m - 2} \cdot 5 k \cdot 2^{m - 2} + m \cdot 2^{m - 1}} + 2^{m} \end{matrix}

$\begin{align*}N^m&=(5k+2)^m\\[0.5em]&=(5k)^m +m(5k)^{m-1}\cdot2+{_mC_2}(5k)^{m-2}\cdot2^2+\cdots\\ &\qquad+{_m C_{m-2}}(5k)^2\cdot2^{m-2}+m\cdot5k\cdot2^{m-1}+2^m\\[0.5em]&=5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdots\\ &\qquad+{_m C_{m-2}}\cdot5k\cdot2^{m-2}+m\cdot2^{m-1}\}+2^m\end{align*}$

となることを考えると、

5 k {(5 k)^{m - 1} + m (5 k)^{m - 2} \cdot 2 + \dots

$5k\{(5k)^{m-1}+m(5k)^{m-2}\cdot2+\cdots$ の項は

5

$5$ の倍数なので

5

$5$ で割り切れて余りは

0

$0$ になるから、

2^{m}

$2^m$ を

5

$5$ で割ったときの余りが

N^{m}

$N^m$ を

5

$5$ で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

N^{2}

$N^2$ を

5

$5$ で割ったときの余りは、

N

$N$ を

5

$5$ で割ったときの余りを2乗したものを

5

$5$ で割ったときの余りと等しいから

2^{2} \div 5 = 0 余 り 4

$2^2÷5=0\ 余り4$

したがって、

N^{2}

$N^2$ を

5

$5$ で割ったときの余りは

4

$\mathbf{4}$ 。

(3) $N^2+3N+1$

　(1)、(2)の辺々を足し、両辺に

1

$1$ を足すと

\begin{matrix} N^{2} + 3 N + 1 & = {5 (5 k^{2} + 4 k) + 4} + {5 (3 k + 1) + 1} + 1 = 5 (5 k^{2} + 7 k + 1) + 6 = 5 (5 k^{2} + 7 k + 1) + 5 + 1 = 5 (5 k^{2} + 7 k + 2) + 1 \end{matrix}

$\begin{align*}N^2+3N+1&=\{5(5k^2+4k)+4\}+\{5(3k+1)+1\}+1\\[0.5em]&=5(5k^2+7k+1)+6\\[0.5em]&=5(5k^2+7k+1)+5+1\\[0.5em]&=5(5k^2+7k+2)+1\end{align*}$

と変形でき、

$N^2+3N+1$ を5で割ったときの商は

$5k^2+7k+2$ 、余りは

$\mathbf{1}$ であるとわかります。

　ここで、

$N^2$ を

$5$ で割ったときの余りと

$3N$ を

$5$ で割ったときの余り、

$1$ を

$5$ で割ったときの余りの和から

$N^2+3N+1$ を

$5$ で割ったときの余りを求めていることに着目すると、

$M=5l+m$ 、すなわち

$5$ で割ると

$m$ 余る整数

$M$ と整数

$N$ の和

$M+N$ を

$5$ で割ったときの余りを求めるには

$\begin{align*}M+N&=(5l+m)+(5k+2)\\[0.5em]&=5(k +l)+(m+2)\end{align*}$

となることを考えると、

$5(k +l)$ は5の倍数なので

$5$ で割り切れて余りが

$0$ になるから、

$m+2$ を

$5$ で割ったときの余りが

$M+N$ を

$5$ で割ったときの余りとなります。

この性質がわかっていればこのように解くこともできます。

$N^2+3N+1$ を

$5$ で割ったときの余りは、

$N^2$ を

$5$ で割ったときの余りと

$3N$ を

$5$ で割ったときの余りと

$1$ を

$5$ で割ったときの余りの和を

$5$ で割ったときの余りと等しいから

$(1+4+1)÷5=1\ 余り1$

したがって、

$N^2+3N+1$ を

$5$ で割ったときの余りは

$\mathbf{1}$ であるとわかります。

数学について考えてみる

2022年8月2日