2次方程式が2解を持つ条件

「2次方程式$x^2+kx+k+3=0$が次の条件を満たすときの$k$を求めよ。

(1)異なる2解を持つ

(2)2解を持つ

(3)2解ともに正」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　解を持つ条件を調べるためには判別式を利用します。

2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式$D$は

$$D=b^2-4ac$$

なので、問題の2次方程式の判別式は

$$D=k^2-4(k+3)=k^2-4k-12$$

となります。

関連：2次方程式の解の公式と判別式

(1)異なる2解を持つ

　2次方程式が異なる2解を持つ条件は判別式の値が正となることなので、

$$\begin{align*}D=k^2-4k-12&>0\\ \\ (k+2)(k-6)&>0\\ \\ k<-2,&6<k\end{align*}$$

となります。

(2)2解を持つ

　(1)と似ていますがこちらは重解も含みます。

$$\begin{align*}D=k^2-4k-12&\geqq0\\ \\ (k+2)(k-6)&\geqq0\\ \\ k\leqq-2,&6\leqq k\end{align*}$$
となります。

　なぜ重解も含むのかを考えてみます。

2次方程式を因数分解して$(x-A)(x-B)=0$となったとき、$(x-A)(x-B)$が$0$になる条件は$x=A$または$x=B$の2通りになるため解が2つになります。

重解のときの2次方程式の形は$(x-A)^2=0$ですが、これは書き換えると$(x-A)(x-A)=0$であるから、同様に考えれば$x=A$または$x=A$となり、両者は同じであるものの2通りに分けることができます。

このことから重解であっても2通りの解が出てくる式の形であることは変わらないので、重解も2解を持つものに含まれます。

(3)2解ともに正

　2次方程式の解が2つとも正になる条件はグラフを利用して考えます。

2次方程式$ax^2+bx+c=0\ (a>0)$について、$f(x)=ax^2+bx+c$として$y=f(x)$のグラフを考えると2次方程式の解はx軸との共有点のことなので、

上図のようにx軸との共有点が正の部分にあるためには

• 2解を持つ（1つ以上の共有点を持つ）：$D\geqq 0$
• 軸がx軸の正の部分にある：$-\dfrac{b}{2a}>0$
• $f(0)$が正：$f(0)>0$

の3条件を満たしている必要があります。

したがって、問題の場合は

2解を持つ

(2)より

$$k\leqq-2,6\leqq k\qquad\cdots(a)$$

軸がx軸の正の部分にある

$$\begin{align*}-\frac{b}{2a}=-\frac{k}{2}&>0\\ \\ k&<0&\cdots(b)\end{align*}$$

$f(0)$が正

$$\begin{align*}f(0)=0^2+k\cdot0+k+3\\ \\ =k+3&>0\\ \\ k&>-3&\cdots(c)\end{align*}$$

となるため、(a)、(b)、(c)より

$$-3<k\leqq-2$$

となります。

関連：2次方程式の2解が○○である条件

関連：2次方程式の2解が○○である条件(2)

関連：2次方程式の解の公式と判別式