数列の極限の収束、正・負の無限大に発散の定義には同値な条件があります。
それぞれの同値な条件は以下のようになります。
それぞれの同値な条件は以下のようになります。
収束の定義と同値な条件
ある正の数$ε_0$をとり、$0<ε<ε_0$を満たす任意の正の数$ε$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-α|<ε$が成り立つ。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
ある正の数$K_0$をとり、$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
ある負の数$L_0$をとり、$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。
なぜこれらが定義と同値な条件なのでしょうか？
収束の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における数列の収束の定義は
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の正の数\varepsilonに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常に|a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&ある正の数\varepsilon_0をとり、\\
&0<\varepsilon<\varepsilon_0を満たす任意の正の数\varepsilonに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常に|a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つ。\end{aligned}\tag{i}\]
です。
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(1)$を満たす数列が条件$\text{(i)}$も満たすことを確かめます。
定義$(1)$の$ε$の範囲を$0<ε<ε_0$と$ε≧ε_0$に分割して書き直すと、
定義$(1)$の$ε$の範囲を$0<ε<ε_0$と$ε≧ε_0$に分割して書き直すと、
ある正の数$\varepsilon_0$をとり、$0<\varepsilon<\varepsilon_0$を満たす任意の正の数$\varepsilon$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-\alpha|<\varepsilon$が成り立つ。
ある正の数$\varepsilon_0$をとり、$\varepsilon\geqq\varepsilon_0$を満たす任意の正の数$\varepsilon$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-\alpha|<\varepsilon$が成り立つ。
となります。定義$(1)$を満たす数列はこれらも満たします。
前者は条件$\text{(i)}$そのものなので、定義$(1)$を満たす数列は条件$\text{(i)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(i)}$を満たす数列が定義$(1)$も満たすことを確かめます。
上述の定義$(1)$の分割より、一方は条件$\text{(i)}$そのものなので、条件$\text{(i)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
上述の定義$(1)$の分割より、一方は条件$\text{(i)}$そのものなので、条件$\text{(i)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
\[\begin{aligned}&ある正の数\varepsilon_0をとり、\\
&\varepsilon\geqq\varepsilon_0を満たす任意の正の数\varepsilonに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常に|a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つ。\end{aligned}\tag*{(i)'}\]
も満たせば、定義$(1)$を満たすことがわかります。
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$0<p<ε_0$を満たす正の数$p$として例えば$p=\dfrac{ε_0}{2}$をとると、条件$\text{(i)}$より、これに対応する自然数$N_p$が存在して、$n>N_p$を満たすすべての$n$において\\
&常に
\[|a_n-\alpha|<p\]
が成り立ちます。
そして、$ε≧ε_0$において$ε>p$なので、
\[|a_n-\alpha|<p<\varepsilon\]
も成り立ちます。すなわち、
ある正の数$\varepsilon_0$をとり、$\varepsilon\geqq\varepsilon_0$を満たす任意の正の数$\varepsilon$に対し、自然数$N_p$が存在して、$n>N_p$を満たすすべての$n$において常に$|a_n-\alpha|<\varepsilon$が成り立つ。
ということで、これは$ε≧ε_0$を満たすすべての$ε$に対して、同じ$N_p$を対応させることで条件$\text{(i)'}$が成り立っているということです。
したがって、条件$\text{(i)}$を満たす数列は、条件$\text{(i)'}$も満たすので、定義$(1)$もまた満たすことがわかります。
以上より、定義$(1)$を満たす数列と条件$\text{(i)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(1)$と条件$\text{(i)}$は同値であることがわかります。
正の無限大に発散の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における数列の正の無限大に発散の定義は
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の正の数Kに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n>Kが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&ある正の数K_0をとり、\\
&K>K_0を満たす任意の正の数Kに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n>Kが成り立つ。\end{aligned}\tag{ii}\]
です。
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(2)$を満たす数列が条件$\text{(ii)}$も満たすことを確かめます。
定義$(2)$の$K$の範囲を$0<K≦K_0$と$K>K_0$に分割して書き直すと、
定義$(2)$の$K$の範囲を$0<K≦K_0$と$K>K_0$に分割して書き直すと、
ある正の数$K_0$をとり、$0<K\leqq
K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。
ある正の数$K_0$をとり、$K>K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。
となります。定義$(2)$を満たす数列はこれらも満たします。
後者は条件$\text{(ii)}$そのものなので、定義$(2)$を満たす数列は条件$\text{(ii)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(ii)}$を満たす数列が定義$(2)$も満たすことを確かめます。
上述の定義$(2)$の分割より、一方は条件$\text{(ii)}$そのものなので、条件$\text{(ii)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
上述の定義$(2)$の分割より、一方は条件$\text{(ii)}$そのものなので、条件$\text{(ii)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
\[\begin{aligned}&ある正の数K_0をとり、\\ &0<K\leqq
K_0を満たす任意の正の数Kに対し、\\ &ある自然数Nが存在して、\\
&n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n>Kが成り立つ。\end{aligned}\tag*{(ii)'}\]
も満たせば、定義$(2)$を満たすことがわかります。
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$q>K_0$を満たす正の数$q$として例えば$q=2K_0$をとると、条件$\text{(ii)}$より、これに対応する自然数$N_q$が存在して、$n>N_q$を満たすすべての$n$において常に
\[a_n>q\]
が成り立ちます。
そして、$0<K≦K_0$において$K<q$なので、
\[a_n>q>K\]
も成り立ちます。すなわち、
ある正の数$K_0$をとり、$0<K\leqq
K_0$を満たす任意の正の数$K$に対し、自然数$N_q$が存在して、$n>N_q$を満たすすべての$n$において常に$a_n>K$が成り立つ。
ということで、これは$0<K≦K_0$を満たすすべての$K$に対して、同じ$N_q$を対応させることで条件$\text{(ii)'}$が成り立っているということです。
したがって、条件$\text{(ii)}$を満たす数列は、条件$\text{(ii)'}$も満たすので、定義$(2)$もまた満たすことがわかります。
以上より、定義$(2)$を満たす数列と条件$\text{(ii)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(2)$と条件$\text{(ii)}$は同値であることがわかります。
負の無限大に発散の定義と同値な条件
イプシロン-エヌ論法における数列の負の無限大に発散の定義は
それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
\begin{equation}\begin{aligned}&任意の負の数Lに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n<Lが成り立つ。\end{aligned}\end{equation}
で、これと同値であると確かめたい条件は
\[\begin{aligned}&ある負の数L_0をとり、\\
&L<L_0を満たす任意の負の数Lに対し、\\
&ある自然数Nが存在して、\\ &n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n<Lが成り立つ。\end{aligned}\tag{iii}\]
です。それぞれを満たす数列が同じであることから、これらが同値であることを確かめます。
まず、定義$(3)$を満たす数列が条件$\text{(iii)}$も満たすことを確かめます。
定義$(3)$の$L$の範囲を$L<L_0$と$L_0≦L<0$に分割して書き直すと、
定義$(3)$の$L$の範囲を$L<L_0$と$L_0≦L<0$に分割して書き直すと、
ある負の数$L_0$をとり、$L<L_0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。
ある負の数$L_0$をとり、$L_0\leqq
L<0$を満たす任意の負の数$L$に対し、ある自然数$N$が存在して、$n>N$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。
となります。定義$(3)$を満たす数列はこれらも満たします。
前者は条件$\text{(iii)}$そのものなので、定義$(3)$を満たす数列は条件$\text{(iii)}$も満たすことがわかります。
次に、条件$\text{(iii)}$を満たす数列が定義$(3)$も満たすことを確かめます。
上述の定義$(3)$の分割より、一方は条件$\text{(iii)}$そのものなので、条件$\text{(iii)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
上述の定義$(3)$の分割より、一方は条件$\text{(iii)}$そのものなので、条件$\text{(iii)}$を満たす数列がもう一方の条件、すなわち
\[\begin{aligned}&ある負の数L_0をとり、\\ &L_0\leqq
L<0を満たす任意の負の数Lに対し、\\ &ある自然数Nが存在して、\\
&n>Nを満たすすべてのnにおいて\\
&常にa_n<Lが成り立つ。\end{aligned}\tag*{(iii)'}\]
も満たせば、定義$(3)$を満たすことがわかります。
$r<L_0$を満たす負の数$r$として例えば$r=2L_0$をとると、条件$\text{(iii)}$より、これに対応する自然数$N_r$が存在して、$n>N_r$を満たすすべての$n$において常に
\[a_n<r\]
が成り立ちます。
そして、$L_0≦L<0$において$L>r$なので、
\[a_n<r<L\]
も成り立ちます。すなわち、
ある負の数$L_0$をとり、$L_0\leqq
L<0$を満たす任意の負の数$L$に対し、自然数$N_r$が存在して、$n>N_r$を満たすすべての$n$において常に$a_n<L$が成り立つ。
ということで、これは$L_0≦L<0$を満たすすべての$L$に対して、同じ$N_r$を対応させることで条件$\text{(iii)'}$が成り立っているということです。
したがって、条件$\text{(iii)}$を満たす数列は、条件$\text{(iii)'}$も満たすので、定義$(3)$もまた満たすことがわかります。
以上より、定義$(3)$を満たす数列と条件$\text{(iii)}$を満たす数列は同じであることから、定義$(3)$と条件$\text{(iii)}$は同値であることがわかります。
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