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| 図1 正三角形の中線AD |
正三角形の中点と対角の頂点を結ぶ中線が垂直二等分線でもあることを確認します。
正三角形ABCの中線ADが垂直二等分線であることを証明するために、△ABDと△ACDに着目します。
△ABCは正三角形なのでAB=AC、
点DはBCの中点なのでBD=CD、 …(a)
ADは共通。
以上のことから、3辺がそれぞれ等しいので△ABDと△ACDは合同です。
よって、∠ADB=∠ADC
また、∠BDC=180° かつ∠BDC=∠ADB+∠ADCなので
∠ADB+∠ADC = 2∠ADB = 2∠ADC = 180°
したがって∠ADB = ∠ADC = 90°これで、BCとADのなす角が90°であることがわかりました。
また、(a)よりADはBCの中点を通っているので、ADはBCの垂直二等分線であることがわかります。
垂直二等分線は垂線と二等分線の両方の性質を持っているので、その両方を示すことで証明ができます。
また、正三角形で証明しましたが、証明の流れを見ると底辺BCの長さが他の辺と同じかどうかは関係ありません。なので、二等辺三角形の底辺の中点と頂角を結ぶ中線も垂直二等分線となることがわかります。
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