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2021年7月22日

円に内接・外接する正八角形の周長と面積から円周率との関係を考える

 円に内接・外接する正八角形の周の長さを求める方法と面積を求める方法、2つのアプローチで円周率の値の範囲を調べてみようと思います。


円に内接する正八角形

円に内接する正八角形
 半径11の円を考えます。この円の円周は2π2π面積はππです。
この円に内接する正八角形を描き、中心を通る対角線を引きます。すると、合同な二等辺三角形8つができます。

周の長さ

 正八角形の辺の一部である二等辺三角形の底辺の長さl1l1余弦定理によって求められます。
底辺以外の辺の長さは11、その間の角は45°45°なのでl1l1
l1=12+122×1×1×cos45°=22
正八角形の周の長さL1l1の8倍なので
L1=8l1=8226.12
となります。

 円周と内接する正六角形の周の長さを比較すると円周のほうが長いので
2π>822π>4223.06
となります。すなわち、円周率π422(およそ3.06)より大きいことがわかります。

面積

二等辺三角形の面積s1は、等しい辺の長さが1、その間の角が45°であることから以下のように求められます。
s1=12×1×1×sin45°=24
円に内接する正八角形の面積S1s1の8倍なので
S1=8s1=222.83
となります。

 円と内接する正六角形の面積を比較すると円の面積のほうが大きいので
π>222.83
となります。すなわち、円周率π22(およそ2.83)より大きいことがわかります。

円に外接する正八角形

円に外接する正八角形
 円に内接する正八角形のときのように、半径1の円を考え、それに外接する正八角形を描きます。円の中心を通る対角線を引くと正八角形は円の半径を高さとする合同な8つの二等辺三角形に分かれます。

周の長さ

 二等辺三角形の頂角から底辺に引いた垂線によってできる直角三角形は垂線の長さが1、垂線と斜辺からなる角が頂角の45°の半分の22.5°となります。したがって、底辺の長さl2は三角比よりtan22.5°を使って求められます。
l2=2×1×tan22.5°=2tan22.5°
したがって、円に外接する正八角形の周の長さL2
L2=8l2=16tan22.5°
となります。
ところで、tan22.5°は半角の公式より以下のように求められます。
tanα2=sinα1+cosαtan22.5°=sin45°1+cos45°=121+12=12+1=21
すると、L2は上記をもちいて
L2=16(21)=16216
と書けます。

 円周と外接する正八角形の周の長さを比較すると円周のほうが短いので
2π<16216π<8283.31
となります。すなわち、円周率π828(およそ3.31)より小さいことがわかります。

面積

 さきほど二等辺三角形の高さが1、底辺の長さl22tan22.5°とわかったので、二等辺三角形の面積s2を求めることができます。
s2=12×l2×1=tan22.5°
したがって、円に外接する正八角形の面積S2s2の8倍なので
S2=8s2=8tan22.5°=8283.31
となります。

 円と外接する正八角形の面積を比較すると円の面積のほうが小さいので
π<8283.31
となります。すなわち、円周率π828(およそ3.31)より小さいことがわかります。

円周率πがとりうる値の範囲

 ここまででわかったことをまとめると

周の長さより、円周率π422より大きく、828より小さい
422<π<828

面積より、円周率π22より大きく、828より小さい
22<π<828

となります。

 これらを数直線で表してみると下図のようになります。
円周率πがとりうる値の範囲
赤く示した範囲が周の長さの関係からわかった円周率piがとりうる値の範囲、青く示した範囲が面積の関係からわかった円周率piがとりうる値の範囲です。
この2つの範囲をもちいて円周率πがとりうる値の範囲を絞り込むには、2つの値の範囲の重なる部分を探します。これは赤く示した範囲である422<π<828となります。

以上より円に内接・外接する正八角形の周の長さの関係と面積の関係より円周率πがとりうる値の範囲は422<π<828、すなわちおよそ3.06より大きくおよそ3.31より小さいことがわかります。

 「」よりわかった円周率πがとりうる値の範囲3<π<233より大きくおよそ3.46より小さい)よりも狭い範囲に絞り込むことができました。より頂点の多い多角形を使えば周の長さと面積が円周と円の面積により近づくので、円周率のとりうる値の範囲をより精密に絞り込むことができます。

(2024/4)内容を修正しました。
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