頂角が60°の二等辺三角形が正三角形であることの証明

　頂角が$60°$の二等辺三角形が正三角形であることはどうすればわかるのか？を考えてみます。

　上図の$∠\text{A}=60°, \text{AB}=\text{AC}$である二等辺三角形$\text{ABC}$において
頂角が$60°$なので、底角$∠\text{B, }∠\text{C}$の大きさの和は

$$∠\text{B}+∠\text{C}=180°-60°=120°$$

です。二等辺三角形の底角は等しい角度になるので、底角1つの大きさは

$$∠\text{B}=∠\text{C}=120°÷2=60°$$

となります。

ここで、頂角$∠\text{A}$と底角$∠\text{B}$がともに$60°$であることに着目すると、$∠\text{A}=∠\text{B}$である三角形は二等辺三角形であり、$\text{AC}=\text{BC}$が成り立ちます。

したがって、$\text{AB}=\text{BC}=\text{AC}$であるから正三角形の定義「すべての辺の長さが等しい三角形」を満たすので、この二等辺三角形は正三角形であることがわかります。

(2023/12)正三角形の定義に則った内容に修正しました。

関連：二等辺三角形の特徴