なぜa+(-b)=a-b、a-(-b)=a+bとなるのかを数直線で考える

　正負の数の足し算において

\begin{align*}a+(-b)&=a-b\\[1em]a-(-b)&=a+b\end{align*}

が成り立ちます。

なぜこれらが成り立つのでしょうか？「正負の数の足し算・引き算を数直線で考える」と同様に主線と補助線の2本の数直線をもちいて確かめてみます。

$a+(-b)=a-b$

　まずは$a-b$（ただし、$b\geqq0$）を数直線をもちいて考えます。

$a-b$が表す数は主線上の$a$と補助線上の$0$を数直線の向きを互いに逆向きにして重ね、補助線上の$b$と重なる主線上の数となります。

この数は$a$より負の方向にあるため$a$より小さい数であり、$b$は$0$より$|b|$だけ大きい数のことなので、補助線上の$b$と重なる主線上の数は$a$から$|b|$だけ離れています。

関連：正の数と負の数と絶対値

すなわち、このときの補助線上の$b$と重なる主線上の数は$a$より$|b|$だけ小さい数を表すので

\[a-b=a-|b|\]

と書けます。

　次に、$a+(-b)$（ただし、$b\geqq0$）が表す数は主線上の$a$と補助線上の$0$を数直線の向きを揃えて重ね、補助線上の$-b$と重なる主線上の数となります。
この数は$a$より負の方向にあるため$a$より小さい数であり、$-b$は$0$より$|b|$だけ小さい数のことなので、補助線上の$-b$と重なる主線上の数は$a$から$|b|$だけ離れています。
すなわち、このときの補助線上の$-b$と重なる主線上の数は$a$より$|b|$だけ小さい数を表すので

\[a+(-b)=a-|b|\]

と書けることがわかります。

以上より$b\geqq0$のとき

\[a+(-b)=a-b\]

が成り立つことがわかります。

　$b<0$の場合も同様にすると、上図のように$a-b$と$a+(-b)$はともに$a$より$|b|$だけ大きい数を表します。

したがって、$a,b$がどのような数である場合においても

\[\large a+(-b)=a-b\]

が成り立つことがわかります。

$b<0$のとき補助線上の$-b$が$0$より大きい方に位置している理由は↓

関連：$-(-3)$はなぜ$+3$なのか？

$a-(-b)=a+b$

　$a+b$（ただし、$b\geqq0$）を数直線で考えてみると、この式が表す数は主線上の$a$と補助線上の$0$を数直線の向きを揃えて重ね、補助線上の$b$と重なる主線上の数となります。

この数は$a$より正の方向にあるため$a$より大きい数であり、$b$は$0$より$|b|$だけ大きい数のことなので、補助線上の$b$と重なる主線上の数は$a$から$|b|$だけ離れています。

すなわち、このときの補助線上の$b$と重なる主線上の数は$a$より$|b|$だけ大きい数を表すので

\[a+b=a+|b|\]

と書けます。

　次に、$a-(-b)$（ただし、$b\geqq0$）が表す数は主線上の$a$と補助線上の$0$を数直線の向きを互いに逆向きにして重ね、補助線上の$-b$と重なる主線上の数となります。
この数は$a$より正の方向にあるため$a$より大きい数であり、$-b$は$0$より$|b|$だけ小さい数のことなので、補助線上の$-b$と重なる主線上の数は$a$から$|b|$だけ離れています。
すなわち、このときの補助線上の$-b$と重なる主線上の数は$a$より$|b|$だけ大きい数を表すので

\[a-(-b)=a+|b|\]

と書けることがわかります。

以上より$b\geqq0$のとき

\[a-(-b)=a+b\]

が成り立つことがわかります。

　$b<0$の場合も同様にすると、上図のように$a+b$と$a-(-b)$はともに$a$より$|b|$だけ小さい数を表します。

したがって、$a,b$がどのような数である場合においても

\[\large a-(-b)=a+b\]

が成り立つことがわかります。

関連：正負の数の足し算・引き算を数直線で考える