指数関数とは、
\[\large y=a^x\quad(a:定数)\]
という、定数$a$を底、独立変数$x$を指数とするべき乗$a^x$を従属変数$y$の値とする関数のことです。
実関数としての指数関数、すなわち$a^x$が実数乗の場合、実数乗の定義より底$a$は$a>0$であり、かつ常に$a^x=1$となる$a=1$のときを除いて一般に$a\neq1$とします。
すべての実数$x$で定義された指数関数$y=a^x$の値域は$y>0$です。
$x=0$のとき、$0$乗の定義より底$a$の値にかかわらず必ず$y=1$となります。
値域が$y>0$であるのは、正の数の実数乗の大小関係より常に$a^x>0$であるからです。
$0<a<1$のときは$x$が増加すると$y$は減少していき、$1<a$のときは$x$が増加すると$y$も増加していきますが、これも正の数の実数乗の大小関係より
正の数$a$と$p<q$である実数$p, q$について
が成り立つからです。
\begin{cases}a^p>a^q&(0<a<1)\\[0.5em]a^p<a^q&(1<a)\end{cases}
このように、$x$が増加すると$y$も常に増加して減少に転じることがないことを単調増加、$x$が増加すると$y$は常に減少して増加に転じることがないことを単調減少といい、これらの性質をまとめて単調性といいます。
また、単調増加・単調減少の性質をもつ関数のことをそれぞれ単調増加関数・単調減少関数といい、これらをまとめて単調関数といいます。
また、単調増加・単調減少の性質をもつ関数のことをそれぞれ単調増加関数・単調減少関数といい、これらをまとめて単調関数といいます。
したがって、指数関数は単調関数です。
また、指数関数が連続関数となるように無理数乗は定義されており、実際に指数関数は連続関数となっています。
指数関数$y=a^x$の$x$の値と$y$の値は一対一対応になっており、1つの$y$の値に対応するただ1つの$x$の値が存在します。
すなわち、指数関数$y=a^x$は逆関数をもち、それは対数関数$y=\log_a{x}$です。
ちなみに、2次関数をはじめとする従属変数$y$が独立変数$x$を底、定数$a$を指数とするべき乗$x^a$で表される関数の総称をべき関数といいます。
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