柱体Aを入れたときの水深は5[\text{cm}]、柱体Bを入れたときの水深は8[\text{cm}]、空の水槽に水を入れたときの水深が2[\text{cm}]であるとき、次の問いに答えよ。
ただし、柱体の底面と水槽の底の間には隙間がなく、全く水が入らないものとする。
(1)水槽と柱体Aの底面の面積比を求めよ。
(2)柱体Aと柱体Bの底面の面積比を求めよ。」
注ぐ水の量が決まっていることに着目します。水の量が一定ということは、水の体積が一定であるということです。
(1)
柱体の体積は(底面積)\times(高さ)で計算できます。
水槽の底面積をS[\text{cm}^2]とすると、何も入っていない水槽に水を注いだとき水深は2[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は2S[\text{cm}^3]です。
柱体Aの底面積をS_A[\text{cm}^2]とすると、水槽に柱体Aを入れて、そこに水を注いだときの水深は5[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は5S[\text{cm}^3]から5S_A[\text{cm}^3]を引いた5S-5S_A[\text{cm}^3]です。
注いだ水の体積は一定なので、上の2つの水の体積の式の関係は
2S=5S-5S_A
となります。これを変形すると
\begin{align*}2S&=5S-5S_A\\ \\ 3S&=5S_A\\ \\ \frac{3S}{S_A}&=5\\ \\ \frac{S}{S_A}&=\frac{5}{3}\end{align*}
これを比の値と考えればp:qの比の値は\dfrac{p}{q}なので、水槽と柱体Aの底面の面積比は
S:S_A=5:3\qquad\cdots(a)
となります。
(2)
まずは水槽と柱体Bの底面の面積比を求めます。
(1)と同様にして、柱体Bの底面積をS_B[\text{cm}^2]とすると、水槽に柱体Bを入れて、そこに水を注いだときの水深は8[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は8S-8S_B)[\text{cm}^3]となるから
\begin{align*}2S&=8S-8S_B\\ \\ 6S&=8S_B\\ \\ \frac{6S}{S_B}&=8\\ \\ \frac{S}{S_B}&=\frac{4}{3}\end{align*}
このことから、水槽と柱体Bの底面の面積比は
S:S_B=4:3\qquad\cdots(b)
となります。
(a)と(b)から柱体Aと柱体Bの底面の面積比を求めるには比の性質
ka:kb=a:b
を利用します。
(a)の比の2項にそれぞれ4を掛けて
S:S_A=20:12
(b)の比の2項にそれぞれ5を掛けて
S:S_B=20:15
これで比のSの項が等しくなったので、2つの比の式を組み合わせることができます。
S:S_A:S_B=20:12:15
S_A:S_Bの部分を取り出して、柱体Aと柱体Bの底面の面積比は
S_A:S_B=12:15=4:5
であるとわかります。
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