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2022年10月8日

柱体の底面の面積比は? 水の体積から求める

柱体と水槽
「2つの柱体ABがある。直方体の水槽を1つ用意し、その中に柱体を底面が水槽の底と密着するように設置して固定し一定量の水を注ぐ。
柱体Aを入れたときの水深は5[\text{cm}]、柱体Bを入れたときの水深は8[\text{cm}]、空の水槽に水を入れたときの水深が2[\text{cm}]であるとき、次の問いに答えよ。
ただし、柱体の底面と水槽の底の間には隙間がなく、全く水が入らないものとする。

(1)水槽と柱体Aの底面の面積比を求めよ。

(2)柱体Aと柱体Bの底面の面積比を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?

 注ぐ水の量が決まっていることに着目します。水の量が一定ということは、水の体積が一定であるということです。

(1)

 柱体の体積は(底面積)\times(高さ)で計算できます。
水槽の底面積をS[\text{cm}^2]とすると、何も入っていない水槽に水を注いだとき水深は2[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は2S[\text{cm}^3]です。

柱体Aの底面積をS_A[\text{cm}^2]とすると、水槽に柱体Aを入れて、そこに水を注いだときの水深は5[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は5S[\text{cm}^3]から5S_A[\text{cm}^3]を引いた5S-5S_A[\text{cm}^3]です。

注いだ水の体積は一定なので、上の2つの水の体積の式の関係は
2S=5S-5S_A


となります。これを変形すると
\begin{align*}2S&=5S-5S_A\\ \\ 3S&=5S_A\\ \\ \frac{3S}{S_A}&=5\\ \\ \frac{S}{S_A}&=\frac{5}{3}\end{align*}

これを比の値と考えればp:qの比の値は\dfrac{p}{q}なので、水槽と柱体Aの底面の面積比は
S:S_A=5:3\qquad\cdots(a)

となります。


(2)

 まずは水槽と柱体Bの底面の面積比を求めます。
(1)と同様にして、柱体Bの底面積をS_B[\text{cm}^2]とすると、水槽に柱体Bを入れて、そこに水を注いだときの水深は8[\text{cm}]だったので、このときの水の体積は8S-8S_B)[\text{cm}^3]となるから
\begin{align*}2S&=8S-8S_B\\ \\ 6S&=8S_B\\ \\ \frac{6S}{S_B}&=8\\ \\ \frac{S}{S_B}&=\frac{4}{3}\end{align*}


このことから、水槽と柱体Bの底面の面積比は
S:S_B=4:3\qquad\cdots(b)

となります。

 (a)と(b)から柱体Aと柱体Bの底面の面積比を求めるには比の性質
ka:kb=a:b


を利用します。

(a)の比の2項にそれぞれ4を掛けて
S:S_A=20:12
(b)の比の2項にそれぞれ5を掛けて
S:S_B=20:15
これで比のSの項が等しくなったので、2つの比の式を組み合わせることができます。
S:S_A:S_B=20:12:15
S_A:S_Bの部分を取り出して、柱体Aと柱体Bの底面の面積比は
S_A:S_B=12:15=4:5
であるとわかります。
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