\[\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)\]
という関係が成り立ちます。この関係のことを中線定理といいます。
なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？
余弦定理を利用して成り立つことを確かめます。
$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}$の中点を$\text{M}$、$∠\text{AMB}=θ$とします。このとき$\text{BM}=\text{CM}$です。
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\[\text{AB}^2=\text{AM}^2+\text{BM}^2-2\text{AM}\cdot\text{BM}\cos\theta\]
が成り立ちます。
これを$\cosθ$について解くと
\begin{align*}2\text{AM}\cdot
\text{BM}\cos\theta&=\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot
\text{BM}}\tag{1}\end{align*}
となります。
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\[\text{AC}^2=\text{AM}^2+\text{CM}^2-2\text{AM}\cdot\text{CM}\cos(180°-\theta)\]
が成り立ちます。
また、三角関数の性質より$\cos(180°-θ)=-\cosθ$なので
\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AM}^2+\text{CM}^2-2\text{AM}\cdot
\text{CM}(-\cos\theta)\\[0.5em]&=\text{AM}^2+\text{CM}^2+2\text{AM}\cdot
\text{CM}\cos\theta\end{align*}
となり、$\cosθ$について解くと
\begin{align*}2\text{AM}\cdot
\text{CM}\cos\theta&=\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2}{2\text{AM}\cdot
\text{CM}}\tag{2}\end{align*}
となります。
$(1), (2)$より
\[\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot\text{BM}}=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2}{2\text{AM}\cdot
\text{CM}}\]
ここで$\text{BM}=\text{CM}$より
\begin{align*}\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot
\text{BM}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{BM}^2}{2\text{AM}\cdot
\text{BM}}\\[0.5em]\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2&=\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{BM}^2\\[0.5em]\therefore&\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)\end{align*}
したがって、中線定理が成り立つことがわかります。
この中線定理から三角形の中線の長さを求めることができます。
上の$△\text{ABC}$における中線定理の式を変形して$\text{AM}$について解くと
\begin{align*}\text{AB}^2+\text{AC}^2&=2\text{AM}^2+2\text{BM}^2\\[0.5em]2\text{AM}^2&=\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2\\[0.5em]\text{AM}^2&=\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2}{2}\\[0.5em]\text{AM}&=\sqrt{\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2}{2}}&(\because
\text{AM}>0)\end{align*}
$\text{BM}=\dfrac{\text{BC}}{2}$より
\begin{align*}\text{AM}&=\sqrt{\cfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\left(\frac{\text{BC}}{2}\right)^2}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-\frac{\text{BC}^2}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2\bigl(\text{AB}^2+\text{AC}^2\bigr)-\text{BC}^2}{4}}\end{align*}
となります。三角形の3辺の長さによって中線の長さを求めることができます。
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