中線定理なぜ成り立つ？ ~ 数学について考えてみる

2023年7月16日

中線定理なぜ成り立つ？

PLUMBAGO

△ ABC

$△\text{ABC}$ の辺

BC

$\text{BC}$ の中点を

M

$\text{M}$ とし、中線

AP

$\text{AP}$ を引くと

{AB}^{2} + {AC}^{2} = 2 ({AM}^{2} + {BM}^{2})

$\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)$

という関係が成り立ちます。この関係のことを中線定理といいます。

なぜこれが成り立つといえるのでしょうか？

　余弦定理を利用して成り立つことを確かめます。

△ ABC

$△\text{ABC}$ の辺

BC

$\text{BC}$ の中点を

M

$\text{M}$ 、

∠ AMB = θ

$∠\text{AMB}=θ$ とします。このとき

BM = CM

$\text{BM}=\text{CM}$ です。

△ ABM

$△\text{ABM}$ に着目して、余弦定理より

{AB}^{2} = {AM}^{2} + {BM}^{2} - 2 AM \cdot BM \cos θ

$\text{AB}^2=\text{AM}^2+\text{BM}^2-2\text{AM}\cdot\text{BM}\cos\theta$

が成り立ちます。

これを

\cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{aligned} 2 AM \cdot BM \cos θ & = {AM}^{2} + {BM}^{2} - {AB}^{2} \\ (1) & \cos θ & = \frac{{AM}^{2} + {BM}^{2} - {AB}^{2}}{2 AM \cdot BM} \end{aligned}

$\begin{align*}2\text{AM}\cdot \text{BM}\cos\theta&=\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot \text{BM}}\tag{1}\end{align*}$

となります。

　次に

△ ACM

$△\text{ACM}$ に着目すると

∠ AMB = θ

$∠\text{AMB}=θ$ より

∠ AMC = 180 ° - θ

$∠\text{AMC}=180°-θ$ となり、余弦定理より

{AC}^{2} = {AM}^{2} + {CM}^{2} - 2 AM \cdot CM \cos (180 ° - θ)

$\text{AC}^2=\text{AM}^2+\text{CM}^2-2\text{AM}\cdot\text{CM}\cos(180°-\theta)$

が成り立ちます。

また、三角関数の性質より

\cos (180 ° - θ) = - \cos θ

$\cos(180°-θ)=-\cosθ$ なので

\begin{aligned} {AC}^{2} & = {AM}^{2} + {CM}^{2} - 2 AM \cdot CM (- \cos θ) \\ = {AM}^{2} + {CM}^{2} + 2 AM \cdot CM \cos θ \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AC}^2&=\text{AM}^2+\text{CM}^2-2\text{AM}\cdot \text{CM}(-\cos\theta)\\[0.5em]&=\text{AM}^2+\text{CM}^2+2\text{AM}\cdot \text{CM}\cos\theta\end{align*}$

となり、

\cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{aligned} 2 AM \cdot CM \cos θ & = {AC}^{2} - {AM}^{2} - {CM}^{2} \\ (2) & \cos θ & = \frac{{AC}^{2} - {AM}^{2} - {CM}^{2}}{2 AM \cdot CM} \end{aligned}

$\begin{align*}2\text{AM}\cdot \text{CM}\cos\theta&=\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2}{2\text{AM}\cdot \text{CM}}\tag{2}\end{align*}$

となります。

(1), (2)

$(1), (2)$ より

\frac{{AM}^{2} + {BM}^{2} - {AB}^{2}}{2 AM \cdot BM} = \frac{{AC}^{2} - {AM}^{2} - {CM}^{2}}{2 AM \cdot CM}

$\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot\text{BM}}=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{CM}^2}{2\text{AM}\cdot \text{CM}}$

ここで

BM = CM

$\text{BM}=\text{CM}$ より

\begin{aligned} \frac{{AM}^{2} + {BM}^{2} - {AB}^{2}}{2 AM \cdot BM} & = \frac{{AC}^{2} - {AM}^{2} - {BM}^{2}}{2 AM \cdot BM} \\ {AM}^{2} + {BM}^{2} - {AB}^{2} & = {AC}^{2} - {AM}^{2} - {BM}^{2} \\ ∴ & {AB}^{2} + {AC}^{2} = 2 ({AM}^{2} + {BM}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2}{2\text{AM}\cdot \text{BM}}&=\frac{\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{BM}^2}{2\text{AM}\cdot \text{BM}}\\[0.5em]\text{AM}^2+\text{BM}^2-\text{AB}^2&=\text{AC}^2-\text{AM}^2-\text{BM}^2\\[0.5em]\therefore&\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2+\text{BM}^2)\end{align*}$

したがって、中線定理が成り立つことがわかります。

　この中線定理から三角形の中線の長さを求めることができます。

上の

△ ABC

$△\text{ABC}$ における中線定理の式を変形して

AM

$\text{AM}$ について解くと

\begin{aligned} {AB}^{2} + {AC}^{2} & = 2 {AM}^{2} + 2 {BM}^{2} \\ 2 {AM}^{2} & = {AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 {BM}^{2} \\ {AM}^{2} & = \frac{{AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 {BM}^{2}}{2} \\ AM & = \sqrt{\frac{{AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 {BM}^{2}}{2}} & (∵ AM > 0) \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AB}^2+\text{AC}^2&=2\text{AM}^2+2\text{BM}^2\\[0.5em]2\text{AM}^2&=\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2\\[0.5em]\text{AM}^2&=\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2}{2}\\[0.5em]\text{AM}&=\sqrt{\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\text{BM}^2}{2}}&(\because \text{AM}>0)\end{align*}$

BM = \frac{BC}{2}

$\text{BM}=\dfrac{\text{BC}}{2}$ より

\begin{aligned} AM & = \sqrt{\frac{{AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 {(\frac{BC}{2})}^{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{{AB}^{2} + {AC}^{2} - \frac{{BC}^{2}}{2}}{2}} \\ = \sqrt{\frac{2 ({AB}^{2} + {AC}^{2}) - {BC}^{2}}{4}} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{AM}&=\sqrt{\cfrac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-2\left(\frac{\text{BC}}{2}\right)^2}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{\text{AB}^2+\text{AC}^2-\frac{\text{BC}^2}{2}}{2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{2\bigl(\text{AB}^2+\text{AC}^2\bigr)-\text{BC}^2}{4}}\end{align*}$

となります。三角形の3辺の長さによって中線の長さを求めることができます。