角度に関する性質
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円に内接する四角形の性質より、内角とその対角に隣り合う外角の大きさは等しくなるので
\[∠A=∠BHF=∠CHE\]
が成り立ちます。
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\[∠B=∠AHF=∠CHD\]
が、四角形$CDHE$に着目すれば
\[∠C=∠AHE=∠BHD\]
が導かれます。
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長さに関する性質
垂線の長さと垂線や垂心によって分割されてできる線分の長さを調べます。
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\[BD=AB\cos∠B\]
$△ACD$に着目すると
\[CD=AC\cos∠C\]
であることがわかります。
また、垂線$AD$の長さは
\[AD=AB\sin∠B=AC\sin∠C\]
であることがわかります。
ここで、正弦定理より
\begin{align*}\frac{BC}{\sin∠A}=\frac{AC}{\sin∠B}=\frac{AB}{\sin∠C}&=2R\\
&(R:外接円の半径)\end{align*}
であり、これを変形すると
\begin{align}BC&=2R\sin∠A\\[1em]AC&=2R\sin∠B\\[1em]AB&=2R\sin∠C\end{align}
が得られます。これらを利用して各線分の長さを表すと
\begin{align*}BD&=2R\cos∠B\sin∠C\\[1em]CD&=2R\sin∠B\cos∠C\\[1em]AD&=2R\sin∠B\sin∠C\end{align*}
となります。
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\[AE=AB\cos∠A\]
$△BCE$に着目すると
\[CE=BC\cos∠C\]
であることがわかります。
また、垂線$BE$の長さは
\[BE=AB\sin∠A=BC\sin∠C\]
となります。
これらに対し正弦定理を利用して得られた$(1),(3)$を利用すれば
\begin{align*}AE&=2R\cos∠A\sin∠C\\[1em]CE&=2R\sin∠A\cos∠C\\[1em]BE&=2R\sin∠A\sin∠C\end{align*}
となります。
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\[BF=BC\cos∠B\]
$△ACF$に着目すると
\[AF=AC\cos∠A\]
であることがわかります。
また、垂線$CF$の長さは
\[CF=BC\sin∠B=AC\sin∠A\]
となります。
これらに対し$(1),(2)$を利用すれば
\begin{align*}BF&=2R\sin∠A\cos∠B\\[1em]AF&=2R\cos∠A\sin∠B\\[1em]CF&=2R\sin∠A\sin∠B\end{align*}
となります。
次に、各垂線を垂心で分割してできる線分の長さを調べてみます。
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上で$AE=2R\cos∠A\sin∠C,∠AHE=∠C$であることがわかったので、これらを代入すると
\begin{align*}AH&=\frac{2R\cos∠A\sin∠C}{\sin∠C}\\[0.5em]&=2R\cos∠A\\[1em]EH&=2R\cos∠A\cos∠C\end{align*}
となることがわかります。
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上で$BF=2R\sin∠A\cos∠B,∠BHF=∠A$であることがわかったので、これらを代入すると
\[BH=2R\cos∠B,FH=2R\cos∠A\cos∠B\]
となることがわかります。
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上で$CD=2R\sin∠B\cos∠C,∠CHD=∠B$であることがわかったので、これらを代入すると
\[CH=2R\cos∠C,DH=2R\cos∠B\cos∠C\]
となることがわかります。
$△ABC$に垂線$AD$と垂心$H$を描き加えたときの各線分の長さは以下のようになります。3辺の長さを利用すると1つの線分の長さを表す式が複数出てきますが、外接円の半径を利用することで1つの式で表すことができるようになります。
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合同・相似に関する性質
垂心を頂点の1つとする6つの直角三角形の間にある関係について調べます。
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また、その相似比は$BH=2R\cos∠B,CH=2R\cos∠C$より$BH:CH=\cos∠B:\cos∠C$となります。
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また、その相似比は$AH=2R\cos∠A,CH=2R\cos∠C$より$AH:CH=\cos∠A:\cos∠C$となります。
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また、その相似比は$AH=2R\cos∠A,BH=2R\cos∠B$より$AH:BH=\cos∠A:\cos∠B$となります。
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また、正三角形の場合には6つの直角三角形全てが合同となります。
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