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また逆に、線分の両端からの距離が等しい点がその線分の垂直二等分線上以外にないという性質もあります。
これらのことを確かめてみます。
まずは、ある線分の垂直二等分線上の任意の点はその線分の両端からの距離が等しいことを確かめます。
点$\text{M}$は線分$\text{AB}$の中点なので、$\text{AM}=\text{BM}$が成り立ちます。
点$\text{M}$以外の直線$l$上の任意の点$\text{C}$をとります。
$△\text{ACM}$と$△\text{BCM}$に着目すると、
このことから、$\text{AC}=\text{BC}\ \cdots\text{(ii)}$です。
- 上で示したように$\text{AM}=\text{BM}\ \cdots\text{(i)}$
- 直線$l$は線分$\text{AB}$に対し垂直なので$∠\text{AMC}=∠\text{BMC}=90°$
- 共通の辺なので$\text{CM}=\text{CM}$
このことから、$\text{AC}=\text{BC}\ \cdots\text{(ii)}$です。
$\text{(i), (ii)}$より、ある線分の垂直二等分線上の任意の点はその線分の両端からの距離が等しいことがわかります。
次に、線分の両端からの距離が等しい点がその線分の垂直二等分線上以外にないことを確かめてみます。
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また、線分$\text{AB}$の中点を$\text{M}$とします。
$△\text{APM}$と$△\text{BPM}$に着目すると
このことから、$∠\text{AMP}=∠\text{BMP}$です。
- 仮定より$\text{AP}=\text{BP}$
- 同様に仮定より$\text{AM}=\text{BM}$
- 共通の辺より$\text{PM}=\text{PM}$
このことから、$∠\text{AMP}=∠\text{BMP}$です。
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\[\angle \text{AMP}+\angle \text{BMP}=\angle \text{AMB}=180°\]
であり、$∠\text{AMP}=∠\text{BMP}$より
\begin{align*}\angle \text{AMP}+\angle
\text{AMP}&=180°\\[0.5em]2\angle \text{AMP}&=180°\\[0.5em]\angle
\text{AMP}&=90°\end{align*}
となることがわかります。
直線$\text{PM}$は線分$\text{AB}$の中点$\text{M}$で直角に交わる、すなわち線分$\text{AB}$の垂直二等分線なので、線分の中点と中点以外の両端からの距離が等しい点を結べば、必ずその線分の垂直二等分線になることがわかります。
したがって、線分の両端からの距離が等しい点はその線分の垂直二等分線上以外にないことがわかります。
(2026/8)内容を変更しました。
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