点\text{A}を通る円\text{Q}の接線と、点\text{B}を通る円\text{P}の接線を引き、それぞれの接点を\text{C, D}とする。
このとき、直線\text{AB}上に中心があり点\text{O}を通る円のうち、直線\text{AC}に接する円と直線\text{BD}に接する円の半径が等しいことを示せ。」
これを証明するには、三角形の相似を利用します。
直線\text{AB}上に中心があって点\text{O}を通る円のうち、直線\text{AC}に接する円を\text{R}、直線\text{BD}に接する円を\text{S}とします。円\text{P, Q, R, S}の中心もまた\text{P, Q, R, S}と呼ぶことにします。
そして、円\text{R}と直線\text{AC}との接点を\text{E}、円\text{S}と直線\text{BD}との接点を\text{F}、円\text{P, Q, R, S}の半径をそれぞれa,b,r_1,r_2とします。
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すると直角三角形\text{ACQ, AER}ができます。これらの直角三角形は∠\text{CAQ}=∠\text{EAR}なので、直角以外の1組の角が等しいので相似であることがわかります。
また、円の半径を利用してわかる辺の長さを書き出すと\text{AQ}=2a+b,\text{AR}=2a-r_1, \text{CQ}=b,\text{ER}=r_1となります。
ここで、相似比より\text{AQ}:\text{AR}=\text{CQ}:\text{ER}が成り立つので、それぞれの長さを代入してr_1について解くと（ただし、問題の条件よりa>0,b>0）
\begin{align*}2a+b:2a-r_1&=b:r_1\\[0.5em](2a+b)r_1&=(2a-r_1)b\\[0.5em]\frac{2a+b}{b}r_1&=2a-r_1\\[0.5em]\frac{2a+b}{b}r_1+r_1&=2a\\[0.5em]\frac{2(a+b)}{b}r_1&=2a\\[0.5em]r_1&=\frac{ab}{a+b}\end{align*}
となるので、円\text{R}の半径は\dfrac{ab}{a+b}であるとわかります。
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すると直角三角形\text{BDP, BFS}ができます。これらの直角三角形は∠\text{DBP}=∠\text{FBS}なので、直角以外の1組の角が等しいので相似であることがわかります。
また、円の半径を利用してわかる辺の長さを書き出すと\text{BP}=a+2b,\text{BS}=2b-r_2, \text{DP}=a,\text{FS}=r_2となります。
ここで、相似比より\text{BP}:\text{BS}=\text{DP}:\text{FS}が成り立つので、それぞれの長さを代入してr_2について解くと（前述の通りa>0,b>0）
\begin{align*}a+2b:2b-r_2&=a:r_2\\[0.5em](a+2b)r_2&=(2b-r_2)a\\[0.5em]\frac{a+2b}{a}r_2&=2b-r_2\\[0.5em]\frac{2(a+b)}{a}r_2&=2b\\[0.5em]r_2&=\frac{ab}{a+b}\end{align*}
となるので、円\text{S}の半径は\dfrac{ab}{a+b}であるとわかります。
以上より、円\text{R}と円\text{S}の半径が等しいことが示されました。
解答例
直線\text{AB}上に中心があり点\text{O}を通る円のうち、直線\text{AC}に接する円を\text{R}、直線\text{BD}に接する円\text{S}とする。また、円\text{R}と直線\text{AC}との接点を\text{E}、円\text{S}と直線\text{BD}との接点を\text{F}、円\text{P, Q, R, S}の半径をそれぞれa,b,r_1,r_2とする。
△\text{ACQ}と△\text{AER}に着目すると、
∠\text{ACQ}=∠\text{AER}=90°、∠\text{CAQ}=∠\text{EAR}より2組の角がそれぞれ等しい（または、直角以外の1組の角が等しい）ので相似である。ゆえに\text{AQ}:\text{AR}=\text{CQ}:\text{ER}。
\text{AQ}=2a+b,\text{AR}=2a-r_1, \text{CQ}=b,\text{ER}=r_1より
∠\text{ACQ}=∠\text{AER}=90°、∠\text{CAQ}=∠\text{EAR}より2組の角がそれぞれ等しい（または、直角以外の1組の角が等しい）ので相似である。ゆえに\text{AQ}:\text{AR}=\text{CQ}:\text{ER}。
\text{AQ}=2a+b,\text{AR}=2a-r_1, \text{CQ}=b,\text{ER}=r_1より
\begin{align*}2a+b:2a-r_1&=b:r_1\\[0.5em]r_1&=\frac{ab}{a+b}
\tag1\end{align*}
△\text{BDP}と△\text{BFS}に着目すると、
∠\text{BDP}=∠\text{BFS}=90°、∠\text{DBP}=∠\text{FBS}より2組の角がそれぞれ等しい（または、直角以外の1組の角が等しい）ので相似である。ゆえに\text{BP}:\text{BS}=\text{DP}:\text{FS}。
\text{BP}=a+2b,\text{BS}=2b-r_2, \text{DP}=a,\text{FS}=r_2より
∠\text{BDP}=∠\text{BFS}=90°、∠\text{DBP}=∠\text{FBS}より2組の角がそれぞれ等しい（または、直角以外の1組の角が等しい）ので相似である。ゆえに\text{BP}:\text{BS}=\text{DP}:\text{FS}。
\text{BP}=a+2b,\text{BS}=2b-r_2, \text{DP}=a,\text{FS}=r_2より
\begin{align*}a+2b:2b-r_2&=a:r_2\\[0.5em]r_2&=\frac{ab}{a+b}
\tag2\end{align*}
(1),(2)よりr_1=r_2。
したがって、円\text{R}と円\text{S}の半径は等しい。
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