相似を利用して円の半径を求める ~ 数学について考えてみる

「線分

AB

$\text{AB}$ を引き、線分

AB

$\text{AB}$ 上の点

A, B

$\text{A, B}$ 以外の任意の位置に点

O

$\text{O}$ をおく。

AO

$\text{AO}$ を直径とする円

P

$\text{P}$ と

BO

$\text{BO}$ を直径とする円

Q

$\text{Q}$ を描く。
点

A

$\text{A}$ を通る円

Q

$\text{Q}$ の接線と、点

B

$\text{B}$ を通る円

P

$\text{P}$ の接線を引き、それぞれの接点を

C, D

$\text{C, D}$ とする。

このとき、直線 $\text{AB}$ 上に中心があり点 $\text{O}$ を通る円のうち、直線 $\text{AC}$ に接する円と直線 $\text{BD}$ に接する円の半径が等しいことを示せ。」

　これを証明するには、三角形の相似を利用します。

直線

AB

$\text{AB}$ 上に中心があって点

O

$\text{O}$ を通る円のうち、直線

AC

$\text{AC}$ に接する円を

R

$\text{R}$ 、直線

BD

$\text{BD}$ に接する円を

S

$\text{S}$ とします。円

P, Q, R, S

$\text{P, Q, R, S}$ の中心もまた

P, Q, R, S

$\text{P, Q, R, S}$ と呼ぶことにします。

そして、円

R

$\text{R}$ と直線

AC

$\text{AC}$ との接点を

E

$\text{E}$ 、円

S

$\text{S}$ と直線

BD

$\text{BD}$ との接点を

F

$\text{F}$ 、円

P, Q, R, S

$\text{P, Q, R, S}$ の半径をそれぞれ

a, b, r_{1}, r_{2}

$a,b,r_1,r_2$ とします。

　点

Q, R

$\text{Q, R}$ からそれぞれ直線

AC

$\text{AC}$ に垂線をおろします。接線は半径に対し垂直なので垂線はそれぞれ半径である

CQ, ER

$\text{CQ, ER}$ になります。

すると直角三角形 $\text{ACQ, AER}$ ができます。これらの直角三角形は $∠\text{CAQ}=∠\text{EAR}$ なので、直角以外の1組の角が等しいので相似であることがわかります。
また、円の半径を利用してわかる辺の長さを書き出すと $\text{AQ}=2a+b,\text{AR}=2a-r_1,$ $\text{CQ}=b,\text{ER}=r_1$ となります。

ここで、相似比より

AQ : AR = CQ : ER

$\text{AQ}:\text{AR}=\text{CQ}:\text{ER}$ が成り立つので、それぞれの長さを代入して

r_{1}

$r_1$ について解くと（ただし、問題の条件より

a > 0, b > 0

$a>0,b>0$ ）

\begin{aligned} 2 a + b : 2 a - r_{1} & = b : r_{1} \\ (2 a + b) r_{1} & = (2 a - r_{1}) b \\ \frac{2 a + b}{b} r_{1} & = 2 a - r_{1} \\ \frac{2 a + b}{b} r_{1} + r_{1} & = 2 a \\ \frac{2 (a + b)}{b} r_{1} & = 2 a \\ r_{1} & = \frac{a b}{a + b} \end{aligned}

$\begin{align*}2a+b:2a-r_1&=b:r_1\\[0.5em](2a+b)r_1&=(2a-r_1)b\\[0.5em]\frac{2a+b}{b}r_1&=2a-r_1\\[0.5em]\frac{2a+b}{b}r_1+r_1&=2a\\[0.5em]\frac{2(a+b)}{b}r_1&=2a\\[0.5em]r_1&=\frac{ab}{a+b}\end{align*}$

となるので、円

R

$\text{R}$ の半径は

\frac{a b}{a + b}

$\dfrac{ab}{a+b}$ であるとわかります。

　点

P, S

$\text{P, S}$ からそれぞれ直線

BD

$\text{BD}$ に垂線をおろします。

すると直角三角形 $\text{BDP, BFS}$ ができます。これらの直角三角形は $∠\text{DBP}=∠\text{FBS}$ なので、直角以外の1組の角が等しいので相似であることがわかります。
また、円の半径を利用してわかる辺の長さを書き出すと $\text{BP}=a+2b,\text{BS}=2b-r_2,$ $\text{DP}=a,\text{FS}=r_2$ となります。

ここで、相似比より

BP : BS = DP : FS

$\text{BP}:\text{BS}=\text{DP}:\text{FS}$ が成り立つので、それぞれの長さを代入して

r_{2}

$r_2$ について解くと（前述の通り

a > 0, b > 0

$a>0,b>0$ ）

\begin{aligned} a + 2 b : 2 b - r_{2} & = a : r_{2} \\ (a + 2 b) r_{2} & = (2 b - r_{2}) a \\ \frac{a + 2 b}{a} r_{2} & = 2 b - r_{2} \\ \frac{2 (a + b)}{a} r_{2} & = 2 b \\ r_{2} & = \frac{a b}{a + b} \end{aligned}

$\begin{align*}a+2b:2b-r_2&=a:r_2\\[0.5em](a+2b)r_2&=(2b-r_2)a\\[0.5em]\frac{a+2b}{a}r_2&=2b-r_2\\[0.5em]\frac{2(a+b)}{a}r_2&=2b\\[0.5em]r_2&=\frac{ab}{a+b}\end{align*}$

となるので、円

S

$\text{S}$ の半径は

\frac{a b}{a + b}

$\dfrac{ab}{a+b}$ であるとわかります。

以上より、円

R

$\text{R}$ と円

S

$\text{S}$ の半径が等しいことが示されました。

解答例

　直線 $\text{AB}$ 上に中心があり点 $\text{O}$ を通る円のうち、直線 $\text{AC}$ に接する円を $\text{R}$ 、直線 $\text{BD}$ に接する円 $\text{S}$ とする。また、円 $\text{R}$ と直線 $\text{AC}$ との接点を $\text{E}$ 、円 $\text{S}$ と直線 $\text{BD}$ との接点を $\text{F}$ 、円 $\text{P, Q, R, S}$ の半径をそれぞれ $a,b,r_1,r_2$ とする。