Loading web-font TeX/Main/Regular
横画面推奨!
モバイル機器の場合、数式が見切れる場合があります。

2023年6月2日

奇数の自然数を1から順に足すとなぜ平方数になるのか?

 奇数の自然数(1,3,5,…)を1から小さい順にn個足すとn^2になります。
これは数式で
\sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2
と表されます。

なぜこれが成り立つのでしょうか?


 これは隣り合う平方数の差を考えることで確かめることができます。
ある整数kを2乗した平方数とk-1を2乗した平方数の差より
k^2-(k-1)^2=2k-1
が成り立ちます。これが隣り合う平方数の差の一般式となります。
右辺より差は奇数となることがわかります。
この式のkに自然数の1からnまでのn個をそれぞれ代入すると以下のようになります。
\begin{align*}1-0&=1\\[0.5em]4-1&=3\\[0.5em] 9-4&=5\\[0.5em]&\vdots\\[0.5em] n^2-(n-1)^2&=2n-1\end{align*}
これらの辺々を足し合わせると
\begin{array}{cclcll}&1&-&0&=&1\\ &4&-&1&=&3\\ &9&-&4&=&5\\ &\vdots&&\vdots&&\vdots\\ +)&n^2&-&(n-1)^2&=&2n-1\\ \hline &n^2&&&=&1+3+5+\cdots+(2n-1)\end{array}
右辺は
1+3+5+\cdots+(2n-1)=\sum^n_{k=1}(2k-1)
と書けるので
\sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2
が成り立ちます。これで奇数の自然数を1から小さい順にn個足すとn^2になることを確かめることができました。

Share:
share
◎Amazonのアソシエイトとして、当サイト「数学について考えてみる」は適格販売により収入を得ています。
Powered by Blogger.

PR

blogmura_pvcount
ブログランキング・にほんブログ村へ