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2023年6月2日

奇数の自然数を1から順に足すとなぜ平方数になるのか?

 奇数の自然数(1,3,5,1,3,5,)を11から小さい順にnn個足すとn2n2になります。
これは数式で
nk=1(2k1)=n2nk=1(2k1)=n2
と表されます。

なぜこれが成り立つのでしょうか?


 これは隣り合う平方数の差を考えることで確かめることができます。
ある整数kkを2乗した平方数とk1k1を2乗した平方数の差より
k2(k1)2=2k1k2(k1)2=2k1
が成り立ちます。これが隣り合う平方数の差の一般式となります。
右辺より差は奇数となることがわかります。
この式のkkに自然数の11からnnまでのnn個をそれぞれ代入すると以下のようになります。
10=141=394=5n2(n1)2=2n110=141=394=5n2(n1)2=2n1
これらの辺々を足し合わせると
10=141=394=5+)n2(n1)2=2n1n2=1+3+5++(2n1)10=141=394=5+)n2(n1)2=2n1n2=1+3+5++(2n1)
右辺は
1+3+5++(2n1)=nk=1(2k1)1+3+5++(2n1)=nk=1(2k1)
と書けるので
nk=1(2k1)=n2nk=1(2k1)=n2
が成り立ちます。これで奇数の自然数を11から小さい順にnn個足すとn2n2になることを確かめることができました。

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