奇数の自然数(1,3,5,…)を1から小さい順にn個足すとn^2になります。
これは数式で
これは数式で
\sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2
と表されます。
なぜこれが成り立つのでしょうか?
これは隣り合う平方数の差を考えることで確かめることができます。
ある整数kを2乗した平方数とk-1を2乗した平方数の差より
右辺より差は奇数となることがわかります。
ある整数kを2乗した平方数とk-1を2乗した平方数の差より
k^2-(k-1)^2=2k-1
が成り立ちます。これが隣り合う平方数の差の一般式となります。右辺より差は奇数となることがわかります。
この式のkに自然数の1からnまでのn個をそれぞれ代入すると以下のようになります。
\begin{align*}1-0&=1\\[0.5em]4-1&=3\\[0.5em]
9-4&=5\\[0.5em]&\vdots\\[0.5em] n^2-(n-1)^2&=2n-1\end{align*}
これらの辺々を足し合わせると
\begin{array}{cclcll}&1&-&0&=&1\\
&4&-&1&=&3\\ &9&-&4&=&5\\
&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
+)&n^2&-&(n-1)^2&=&2n-1\\ \hline
&n^2&&&=&1+3+5+\cdots+(2n-1)\end{array}
右辺は
1+3+5+\cdots+(2n-1)=\sum^n_{k=1}(2k-1)
と書けるので
\sum^n_{k=1}(2k-1)=n^2
が成り立ちます。これで奇数の自然数を1から小さい順にn個足すとn^2になることを確かめることができました。
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