\[\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
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すなわち、点$P$と直線$l$の距離$L$は、2点$P,Q$間の距離$PQ$に等しいということです。
これを利用して点と直線の距離を求めます。
$a\neq0$または$b\neq0$を$a\neq0$かつ$b\neq0$、$a=0$かつ$b\neq0$、$a\neq0$かつ$b=0$の3つの場合に分割して考えます。
1. $a\neq0$かつ$b\neq0$のとき
$a\neq0$かつ$b\neq0$のとき、点と直線の距離を以下の手順で求めます。
- 点$P$を通る直線$l$の垂線の方程式を求める
- 2直線の交点の座標を求める
- 2点間の距離を求める
I. 点$P$を通る直線$l$の垂線の方程式
まずは垂線$m$の方程式を求める必要があります。
直線$l$の傾きは、方程式を変形して
直交する2直線の傾きの積は$-1$となるので、垂線$m$の傾きは$\dfrac{b}{a}$となります。
\begin{align*}by&=-ax-c\\[0.5em]y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\tag1\end{align*}
より$-\dfrac{a}{b}$であることがわかります。直交する2直線の傾きの積は$-1$となるので、垂線$m$の傾きは$\dfrac{b}{a}$となります。
また、垂線$m$は点$P$を通るので、その方程式は
\begin{align*}y&=\frac{b}{a}(x-p)+q\\[0.5em]y&=\frac{b}{a}x-\frac{bp-aq}{a}\tag2\end{align*}
と求められます。
II. 2直線の交点の座標
直線$l$と垂線$m$の交点$Q$の座標は、それぞれの直線の方程式を連立することで求められます。
$(1),(2)$より
\[-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x-\frac{bp-aq}{a}\]
両辺を$ab$倍して
\begin{align*}-a^2x-ac&=b^2x-b^2p+abq\\[0.5em](a^2+b^2)x&=b^2p-abq-ac\\[0.5em]x&=\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}\end{align*}
これを$(1)$に代入して
\begin{align*}y&=-\frac{a}{b}\cdot\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-\frac{c}{b}\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left(\frac{a(b^2p-abq-ac)}{a^2+b^2}+c\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left\{\frac{a(b^2p-abq-ac)}{a^2+b^2}+\frac{c(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\right\}\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left(\frac{ab^2p-a^2bq-a^2c}{a^2+b^2}+\frac{a^2c+b^2c}{a^2+b^2}\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\cdot\frac{ab^2p-a^2bq+b^2c}{a^2+b^2}\\[0.5em]&=-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}\end{align*}
となり、点$Q$の座標は$\left(\dfrac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2},-\dfrac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}\right)$であることがわかります。
III. 2点間の距離
座標平面上の2点$(x_a,y_a),(x_b,y_b)$間の距離は
\[\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\]
で求められるので、$P,Q$間の距離$PQ$は
\begin{align*}PQ&=\sqrt{\left(\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-p\right)^2+\left(-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}-q\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-\frac{a^2p+b^2p}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}-\frac{a^2q+b^2q}{a^2+b^2}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{-a^2p-abq-ac}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{abp+b^2q+bc}{a^2+b^2}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\frac{-a(ap+bq+c)}{a^2+b^2}\right\}^2+\left\{-\frac{b(ap+bq+c)}{a^2+b^2}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{a^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ap+bq+c)}{(a^2+b^2)^2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(ap+bq+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}&(\because\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}})\\[0.5em]&=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}&(\because\sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}
であることがわかります。
$PQ=L$なので、点$P(p,q)$と直線$l:\ ax+by+c=0$の距離$L$は
\[L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\tag{*}\]
で表されることがわかります。
2. $a=0$かつ$b\neq0$のとき
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\begin{align*}by+c&=0\\[0.5em]by&=-c\\[0.5em]y&=-\frac{c}{b}\end{align*}
となるので、x軸に平行な直線となります。
すると、垂線$m$はy軸に平行な直線なので、点$Q$のx座標は点$P$のx座標に等しくなります。
したがって、点$Q$の座標は$\left(p,-\dfrac{c}{b}\right)$です。
したがって、点$Q$の座標は$\left(p,-\dfrac{c}{b}\right)$です。
2点$P,Q$間の距離$PQ$は
\begin{align*}PQ&=\left|-\frac{c}{b}-q\right|\\[0.5em]&=\left|-\left(\frac{c}{b}+q\right)\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{b}+q\right|&(\because|-x|=|x|)\end{align*}
となるので、$PQ=L$より
\begin{equation}L=\left|\frac{c}{b}+q\right|\end{equation}
であることがわかります。
3. $a\neq0$かつ$b=0$のとき
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\begin{align*}ax+c&=0\\[0.5em]ax&=-c\\[0.5em]x&=-\frac{c}{a}\end{align*}
となるので、y軸に平行な直線となります。
すると、垂線$m$はx軸に平行な直線なので、点$Q$のy座標は点$P$のy座標に等しくなります。
したがって、点$Q$の座標は$\left(-\dfrac{c}{a},q\right)$です。
したがって、点$Q$の座標は$\left(-\dfrac{c}{a},q\right)$です。
2点$P,Q$間の距離$PQ$は
\begin{align*}PQ&=\left|-\frac{c}{a}-p\right|\\[0.5em]&=\left|-\left(\frac{c}{a}+p\right)\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{a}+p\right|&(\because|-x|=|x|)\end{align*}
となるので、$PQ=L$より
\[L=\left|\frac{c}{a}+p\right|\]
であることがわかります。
2.、3.の場合でも$(*)$を満たします。
2.の場合の$a=0$かつ$b\neq0$のとき、$(*)$は
\begin{align*}L&=\frac{|bq+c|}{\sqrt{b^2}}\\[0.5em]&=\frac{|bq+c|}{|b|}\\[0.5em]&=\left|\frac{bq+c}{b}\right|\\[0.5em]&=\left|q+\frac{c}{b}\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{b}+q\right|&(\because
交換法則)\end{align*}
となり、2.の場合の$L$と一致します。
これは3.の場合でも同様です。
したがって、点$P(p,q)$と直線$l:\
ax+by+c=0$（$a,b,c,p,q:$実数、$a\neq0$または$b\neq0$）の距離$L$を
\[\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
と表せることがわかります。
(2024/11)内容を修正しました。
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