点と直線の距離はどうやって求める？

　点と直線の距離とは、定点と直線上の1点の間の距離の中で最短であるもののことで、座標平面上の点$\text{P}(p, q)$と直線$l:\ ax+by+c=0$（$a, b, c, p, q:$実数、$a\neq0$または$b\neq0$）の距離$L$は

$$\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

　点$\text{P}$に最も近い直線$l$上の点は、点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線との交点です。（以降、点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線を$m$、直線$l$との交点を$\text{Q}$とします。）
すなわち、点$\text{P}$と直線$l$の距離$L$は、2点$\text{P, Q}$間の距離$\text{PQ}$に等しいということです。
これを利用して点と直線の距離を求めます。

$a\neq0$または$b\neq0$を$a\neq0$かつ$b\neq0$、$a=0$かつ$b\neq0$、$a\neq0$かつ$b=0$の3つの場合に分割して考えます。

1. $a\neq0$かつ$b\neq0$のとき

$a\neq0$かつ$b\neq0$のとき、点と直線の距離を以下の手順で求めます。

1. 点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線の方程式を求める
2. 2直線の交点の座標を求める
3. 2点間の距離を求める

I. 点$\text{P}$を通る直線$l$の垂線の方程式

　まずは垂線$m$の方程式を求める必要があります。

直線$l$の傾きは、方程式を変形して

$$\begin{align*}by&=-ax-c\\[0.5em]y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\tag1\end{align*}$$

より$-\dfrac{a}{b}$であることがわかります。
直交する2直線の傾きの積は$-1$となるので、垂線$m$の傾きは$\dfrac{b}{a}$となります。

関連：1次関数が互いに直交するための条件は？

また、垂線$m$は点$\text{P}$を通るので、その方程式は

$$\begin{align*}y&=\frac{b}{a}(x-p)+q\\[0.5em]y&=\frac{b}{a}x-\frac{bp-aq}{a}\tag2\end{align*}$$

と求められます。

II. 2直線の交点の座標

　直線$l$と垂線$m$の交点$\text{Q}$の座標は、それぞれの直線の方程式を連立することで求められます。

関連：連立方程式を解く

$(1), (2)$より

$$-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}=\frac{b}{a}x-\frac{bp-aq}{a}$$

両辺を$ab$倍して

$$\begin{align*}-a^2x-ac&=b^2x-b^2p+abq\\[0.5em](a^2+b^2)x&=b^2p-abq-ac\\[0.5em]x&=\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}\end{align*}$$

これを$(1)$に代入して

$$\begin{align*}y&=-\frac{a}{b}\cdot\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-\frac{c}{b}\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left(\frac{a(b^2p-abq-ac)}{a^2+b^2}+c\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left\{\frac{a(b^2p-abq-ac)}{a^2+b^2}+\frac{c(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\right\}\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\left(\frac{ab^2p-a^2bq-a^2c}{a^2+b^2}+\frac{a^2c+b^2c}{a^2+b^2}\right)\\[0.5em]&=-\frac{1}{b}\cdot\frac{ab^2p-a^2bq+b^2c}{a^2+b^2}\\[0.5em]&=-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}\end{align*}$$

となり、点$\text{Q}$の座標は$\left(\dfrac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}, -\dfrac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}\right)$であることがわかります。

III. 2点間の距離

　座標平面上の2点$(x_a, y_a), (x_b, y_b)$間の距離は

$$\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$$

で求められるので、$\text{P, Q}$間の距離$\text{PQ}$は

$$\begin{align*}\text{PQ}&=\sqrt{\left(\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-p\right)^2+\left(-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}-q\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{b^2p-abq-ac}{a^2+b^2}-\frac{a^2p+b^2p}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{abp-a^2q+bc}{a^2+b^2}-\frac{a^2q+b^2q}{a^2+b^2}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left(\frac{-a^2p-abq-ac}{a^2+b^2}\right)^2+\left(-\frac{abp+b^2q+bc}{a^2+b^2}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\frac{-a(ap+bq+c)}{a^2+b^2}\right\}^2+\left\{-\frac{b(ap+bq+c)}{a^2+b^2}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{a^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{b^2(ap+bq+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(ap+bq+c)}{(a^2+b^2)^2}}\\[0.5em]&=\sqrt{\frac{(ap+bq+c)^2}{a^2+b^2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(ap+bq+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}&(\because\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}})\\[0.5em]&=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}&(\because\sqrt{x^2}=|x|)\end{align*}$$

であることがわかります。

関連：座標平面上の2点間の距離

関連：平方根とは？　平方根の計算法則

$\text{PQ}=L$なので、点$\text{P}(p, q)$と直線$l:\ ax+by+c=0$の距離$L$は

$$L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\tag{*}$$

で表されることがわかります。

2. $a=0$かつ$b\neq0$のとき

　$a=0$かつ$b\neq0$のとき、直線$l$の方程式は

$$\begin{align*}by+c&=0\\[0.5em]by&=-c\\[0.5em]y&=-\frac{c}{b}\end{align*}$$

となるので、x軸に平行な直線となります。

すると、垂線$m$はy軸に平行な直線なので、点$\text{Q}$のx座標は点$\text{P}$のx座標に等しくなります。
したがって、点$\text{Q}$の座標は$\left(p, -\dfrac{c}{b}\right)$です。

2点$\text{P, Q}$間の距離$\text{PQ}$は

$$\begin{align*}\text{PQ}&=\left|-\frac{c}{b}-q\right|\\[0.5em]&=\left|-\left(\frac{c}{b}+q\right)\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{b}+q\right|&(\because|-x|=|x|)\end{align*}$$

となるので、$\text{PQ}=L$より

$$\begin{equation}L=\left|\frac{c}{b}+q\right|\end{equation}$$

であることがわかります。

関連：座標平面上の2点間の距離

3. $a\neq0$かつ$b=0$のとき

　$a\neq0$かつ$b=0$のとき、直線$l$の方程式は

$$\begin{align*}ax+c&=0\\[0.5em]ax&=-c\\[0.5em]x&=-\frac{c}{a}\end{align*}$$

となるので、y軸に平行な直線となります。

すると、垂線$m$はx軸に平行な直線なので、点$\text{Q}$のy座標は点$\text{P}$のy座標に等しくなります。
したがって、点$\text{Q}$の座標は$\left(-\dfrac{c}{a}, q\right)$です。

2点$\text{P, Q}$間の距離$\text{PQ}$は

$$\begin{align*}\text{PQ}&=\left|-\frac{c}{a}-p\right|\\[0.5em]&=\left|-\left(\frac{c}{a}+p\right)\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{a}+p\right|&(\because|-x|=|x|)\end{align*}$$

となるので、$\text{PQ}=L$より

$$L=\left|\frac{c}{a}+p\right|$$

であることがわかります。

　2.、3.の場合でも$(*)$を満たします。

2.の場合の$a=0$かつ$b\neq0$のとき、$(*)$は

$$\begin{align*}L&=\frac{|bq+c|}{\sqrt{b^2}}\\[0.5em]&=\frac{|bq+c|}{|b|}\\[0.5em]&=\left|\frac{bq+c}{b}\right|\\[0.5em]&=\left|q+\frac{c}{b}\right|\\[0.5em]&=\left|\frac{c}{b}+q\right|&(\because 交換法則)\end{align*}$$

となり、2.の場合の$L$と一致します。

これは3.の場合でも同様です。

したがって、点$\text{P}(p, q)$と直線$l:\ ax+by+c=0$（$a, b, c, p, q:$実数、$a\neq0$または$b\neq0$）の距離$L$を

$$\large L=\frac{|ap+bq+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

と表せることがわかります。

(2024/11)内容を修正しました。

関連：座標平面上の2点間の距離