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2021年12月4日

碁盤の目状の道路網の最短経路は何通り?(2)

道路網の最短経路は何通り?
図1 道路網の最短経路
「図1のような道路網のスタートからゴールまでの最短経路は何通りあるか?」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


碁盤の目状の道路の抜けを補完する
図2 道路網の補完
 まずは碁盤の目のようになるように図2のように線を書き足します。
補完された交差点を交差点\text{A}、道路を\text{B}地点とします。すると、問題文を「\text{A}\text{B}どちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
 ここで、「\text{A}\text{B}どちらも通らない」という条件の否定について考えます。
\text{A}\text{B}どちらも通らない」すなわち「\text{A}を通らずかつ\text{B}を通らない」の否定は「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
「Aを通るまたはBを通る」のベン図
図3 「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る」のベン図
\text{A}を通る」は左の楕円部分、「\text{B}を通る」は右の楕円部分です。2つの楕円が重なったの部分は「\text{A}\text{B}両方を通る」となります。
そして「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」はをあわせたものになります。
このことから「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る()」を求めるには、

\text{A}を通る()」+「\text{B}を通る()」-「\text{A}\text{B}両方を通る()」

を考えれば良いということになります。

 また、「\text{A}\text{B}も通らない」場合の最短経路の数を求めるには、「補完した状態のすべて」の最短経路の数から「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」場合の最短経路の数を引くことで求めることができます。
 以上から、「補完した状態のすべて」の場合、「\text{A}を通る」場合、「\text{B}を通る」場合、「\text{A}\text{B}両方を通る」場合それぞれの最短経路が何通りあるのかを計算します。

補完した状態のすべての最短経路

 補完した状態の道路網は縦5マス×横7マスなので、
\frac{12!}{5! 7!}=792\ (通り)
となります。

\text{A}を通る」場合

「Aを通る」場合に通ることがある道路
図4 「\text{A}を通る」場合
 図4のように考えると、
赤い部分は
\frac{3!}{1! 2!}=3\ (通り)
紫の部分は
\frac{9!}{4! 5!}=126\ (通り)
したがって、
3× 126=378\ (通り)

\text{B}を通る」場合

「Bを通る」場合に通ることがある道路
図5 「\text{B}を通る」場合
 図5のように考えると、
紫の部分は
\frac{8!}{3! 5!}=56\ (通り)
青の部分は
\frac{3!}{1! 2!}=3\ (通り)
したがって、
56× 3=168\ (通り)

\text{A}\text{B}両方を通る」場合

「A、B両方を通る」場合に通ることがある道路
図6 「\text{A}\text{B}両方を通る」場合
 図6のように考えると、
赤の部分は
\frac{3!}{1! 2!}=3\ (通り)
緑の部分は
\frac{5!}{2! 3!}=10\ (通り)
青の部分は
\frac{3!}{1! 2!}=3\ (通り)
したがって、
3× 10× 3=90\ (通り)

よって、「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」場合の最短経路の数は
378+168-90=456\ (通り)
であるから、求めたい「\text{A}\text{B}どちらも通らない」場合の最短経路の数は
792-456=\mathbf{336}\ (通り)
となります。

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