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2021年12月4日

碁盤の目状の道路網の最短経路は何通り?(2)

道路網の最短経路は何通り?
図1 道路網の最短経路
「図1のような道路網のスタートからゴールまでの最短経路は何通りあるか?」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?


碁盤の目状の道路の抜けを補完する
図2 道路網の補完
 まずは碁盤の目のようになるように図2のように線を書き足します。
補完された交差点を交差点AA、道路をBB地点とします。すると、問題文を「AABBどちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
 ここで、「AABBどちらも通らない」という条件の否定について考えます。
AABBどちらも通らない」すなわち「AAを通らずかつBBを通らない」の否定は「AAを通るまたはBBを通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
「Aを通るまたはBを通る」のベン図
図3 「AAを通るまたはBBを通る」のベン図
AAを通る」は左の楕円部分、「BBを通る」は右の楕円部分です。2つの楕円が重なったの部分は「AABB両方を通る」となります。
そして「AAを通る、またはBBを通る」はをあわせたものになります。
このことから「AAを通るまたはBBを通る()」を求めるには、

AAを通る()」+「BBを通る()」-「AABB両方を通る()」

を考えれば良いということになります。

 また、「AABBも通らない」場合の最短経路の数を求めるには、「補完した状態のすべて」の最短経路の数から「AAを通る、またはBBを通る」場合の最短経路の数を引くことで求めることができます。
 以上から、「補完した状態のすべて」の場合、「AAを通る」場合、「BBを通る」場合、「AABB両方を通る」場合それぞれの最短経路が何通りあるのかを計算します。

補完した状態のすべての最短経路

 補完した状態の道路網は縦5マス×横7マスなので、
12!5!7!=792 ()
となります。

Aを通る」場合

「Aを通る」場合に通ることがある道路
図4 「Aを通る」場合
 図4のように考えると、
赤い部分は
3!1!2!=3 ()
紫の部分は
9!4!5!=126 ()
したがって、
3×126=378 ()

Bを通る」場合

「Bを通る」場合に通ることがある道路
図5 「Bを通る」場合
 図5のように考えると、
紫の部分は
8!3!5!=56 ()
青の部分は
3!1!2!=3 ()
したがって、
56×3=168 ()

AB両方を通る」場合

「A、B両方を通る」場合に通ることがある道路
図6 「AB両方を通る」場合
 図6のように考えると、
赤の部分は
3!1!2!=3 ()
緑の部分は
5!2!3!=10 ()
青の部分は
3!1!2!=3 ()
したがって、
3×10×3=90 ()

よって、「Aを通る、またはBを通る」場合の最短経路の数は
378+16890=456 ()
であるから、求めたい「ABどちらも通らない」場合の最短経路の数は
792456=336 ()
となります。

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