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図2 道路網の補完 |
まずは碁盤の目のようになるように図2のように線を書き足します。
補完された交差点を交差点\text{A}、道路を\text{B}地点とします。すると、問題文を「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
補完された交差点を交差点\text{A}、道路を\text{B}地点とします。すると、問題文を「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
ここで、「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」という条件の否定について考えます。
「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」すなわち「\text{A}を通らずかつ\text{B}を通らない」の否定は「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
「\text{A}を通る」は左の楕円部分、「\text{B}を通る」は右の楕円部分です。2つの楕円が重なった緑の部分は「\text{A}、\text{B}両方を通る」となります。
そして「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」は赤と緑、青をあわせたものになります。
「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」すなわち「\text{A}を通らずかつ\text{B}を通らない」の否定は「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
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図3 「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る」のベン図 |
そして「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」は赤と緑、青をあわせたものになります。
このことから「\text{A}を通るまたは\text{B}を通る(赤、緑、青)」を求めるには、
「\text{A}を通る(赤、緑)」+「\text{B}を通る(青、緑)」-「\text{A}、\text{B}両方を通る(緑)」
を考えれば良いということになります。
また、「\text{A}も\text{B}も通らない」場合の最短経路の数を求めるには、「補完した状態のすべて」の最短経路の数から「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」場合の最短経路の数を引くことで求めることができます。
以上から、「補完した状態のすべて」の場合、「\text{A}を通る」場合、「\text{B}を通る」場合、「\text{A}、\text{B}両方を通る」場合それぞれの最短経路が何通りあるのかを計算します。
補完した状態のすべての最短経路
補完した状態の道路網は縦5マス×横7マスなので、
\frac{12!}{5! 7!}=792\ (通り)
となります。
「\text{A}を通る」場合
「\text{B}を通る」場合
「\text{A}、\text{B}両方を通る」場合
よって、「\text{A}を通る、または\text{B}を通る」場合の最短経路の数は
378+168-90=456\ (通り)
であるから、求めたい「\text{A}と\text{B}どちらも通らない」場合の最短経路の数は
792-456=\mathbf{336}\ (通り)
となります。
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