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図2 道路網の補完 |
まずは碁盤の目のようになるように図2のように線を書き足します。
補完された交差点を交差点AA、道路をBB地点とします。すると、問題文を「AAとBBどちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
補完された交差点を交差点AA、道路をBB地点とします。すると、問題文を「AAとBBどちらも通らない」場合の最短経路は何通りか?というように解釈することができます。
ここで、「AAとBBどちらも通らない」という条件の否定について考えます。
「AAとBBどちらも通らない」すなわち「AAを通らずかつBBを通らない」の否定は「AAを通るまたはBBを通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
「AAを通る」は左の楕円部分、「BBを通る」は右の楕円部分です。2つの楕円が重なった緑の部分は「AA、BB両方を通る」となります。
そして「AAを通る、またはBBを通る」は赤と緑、青をあわせたものになります。
「AAとBBどちらも通らない」すなわち「AAを通らずかつBBを通らない」の否定は「AAを通るまたはBBを通る」です。これをベン図で表すと以下の図3のようになります。
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図3 「AAを通るまたはBBを通る」のベン図 |
そして「AAを通る、またはBBを通る」は赤と緑、青をあわせたものになります。
このことから「AAを通るまたはBBを通る(赤、緑、青)」を求めるには、
「AAを通る(赤、緑)」+「BBを通る(青、緑)」-「AA、BB両方を通る(緑)」
を考えれば良いということになります。
また、「AAもBBも通らない」場合の最短経路の数を求めるには、「補完した状態のすべて」の最短経路の数から「AAを通る、またはBBを通る」場合の最短経路の数を引くことで求めることができます。
以上から、「補完した状態のすべて」の場合、「AAを通る」場合、「BBを通る」場合、「AA、BB両方を通る」場合それぞれの最短経路が何通りあるのかを計算します。
補完した状態のすべての最短経路
補完した状態の道路網は縦5マス×横7マスなので、
12!5!7!=792 (通り)
となります。
「Aを通る」場合
「Bを通る」場合
「A、B両方を通る」場合
よって、「Aを通る、またはBを通る」場合の最短経路の数は
378+168−90=456 (通り)
であるから、求めたい「AとBどちらも通らない」場合の最短経路の数は
792−456=336 (通り)
となります。
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