分数がある方程式は、両辺に同じ数を掛けて整数のみの方程式にしてから解きます。
分数の計算法則のうち、
\begin{align*}\frac{b}{a}+\frac{d}{c}&=\frac{ad+bc}{ac}\\ \\ \frac{b}{a}×\frac{d}{c}&=\frac{bd}{ac}\end{align*}
の分母に着目すると、足し算掛け算どちらの場合も分母の数の積となるので、両辺に$5×13=65$を掛ければ整数にすることができます。
\[\frac{1}{5}\left(\frac{3x}{13}+1\right)×65=\left(\frac{2x}{13}-\frac{1}{5}\right)×65\]
右辺、左辺それぞれ計算します。
右辺は分配法則を使います。
\begin{align*}\left(右辺\right)&=\frac{2x}{13}×65-\frac{1}{5}×65\\ &=10x-13\ ...(a)\end{align*}
左辺は先に$\frac{1}{5}\left(\frac{3x}{13}+1\right)$を計算してもよいのですが、少し計算を工夫することができます。
65を因数分解、その後交換法則と結合法則を利用します。
\begin{align*}\left(左辺\right)&=\frac{1}{5}\left(\frac{3x}{13}+1\right)×5×13\\ \\ &=\left(\frac{1}{5}×5\right)×\left\{\left(\frac{3x}{13}+1\right)×13\right\}\end{align*}
順番が変わっているのが交換法則、新たに括弧を書き加えたのが結合法則です。
\begin{align*}\left(左辺\right)&=1×\left(\frac{3x}{13}×13+1×13\right)\\ &=3x+13\ ...(b)\end{align*}
$1と\frac{1}{5}$は互いに逆数なので1になり、あとは分配法則を利用して計算します。
(a)=(b)なのでこれを解けば
\begin{align*}3x+13&=10x-13\\ 3x-10x&=-13-13\\ -7x&=-26\\ x&=\frac{-26}{-7}=\underline{\frac{26}{7}}\end{align*}
とxの値が求まります。
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