2通りの方法で$a^3+b^3$の因数分解を導出してみます。
その1
\begin{align*}(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ \\
&=a^3+b^3+3ab(a+b)\end{align*}
を利用して導出します。
\begin{align*}(a+b)^3&=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ \\
a^3+b^3&=(a+b)^3-3ab(a+b)\\ \\ &=(a+b)\{(a+b)^2-3ab\}\\ \\
&=(a+b)\{(a^2+2ab+b^2)-3ab\}\\ \\ \therefore a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\end{align*}
その2
$a^3+b^3$から$a^3+b^3+3ab(a+b)$をつくるために補完して、そこから導出します。
\begin{align*}a^3+b^3&=a^3+b^3+3ab(a+b)-3ab(a+b)\\ \\
&=(a+b)^3-3ab(a+b)\\ \\ &=(a+b)\left\{(a+b)^2-3ab\right\}\\ \\ \therefore a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\end{align*}
その3
因数分解したとき、因数が2つ、うち1つが$(a+b)$であると仮定すると、もう1つの因数には$a^2,b^2$が含まれることになります。なので$(a+b)(a^2+b^2)$を計算してみて、
\begin{align*}(a+b)(a^2+b^2)&=a^3+a^2b+ab^2+b^3\\ \\
&=a^3+b^3+ab(a+b)\end{align*}
となるので
\begin{align*}a^3+b^3&=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)\\ \\ \therefore a^3+b^3&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\end{align*}
$a^3-b^3$の因数分解については、先ほど求めた
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]
の$b$を$-b$に置き換えることで求めることができます。
\begin{gather*}a^3+(-b)^3=\{a+(-b)\}\{a^2-a(-b)+(-b)^2\}\\ \\
\therefore a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{gather*}
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