a^2-b^2の因数分解の導出

　2通りの方法で$a^2-b^2$の因数分解を導出してみます。

その1

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

を変形して$a^2-b^2$の因数分解した式を求めます。

$$\begin{align*}a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2\\ a^2-b^2&=(a+b)^2-2ab-2b^2\\ &=(a+b)^2-2b(a+b)\\ &=(a+b)\left\{(a+b)-2b\right\}\\ \therefore a^2-b^2&=(a+b)(a-b)\end{align*}$$

その2

$(A+B)^2$の展開式$A^2+2AB+B^2$ができるように項を補完して因数分解してみます。

$$\begin{align*}a^2-b^2&=a^2-b^2+(2ab+2b^2)-(2ab+2b^2)\\ &=(a^2+2ab+b^2)-(2ab+2b^2)\\ &=(a+b)^2-2b(a+b)\\ &=(a+b)\left\{(a+b)-2b\right\}\\ \therefore a^2-b^2&=(a+b)(a-b)\end{align*}$$

　ちなみに$a^2+b^2$が因数分解できるかは、その1の方法で試してみると

$$\begin{align*}a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2\\ a^2+b^2&=(a+b)^2-2ab\end{align*}$$

となり、$a^2-b^2$のときのように共通因数をくくりだす事ができませんが、$A=(a+b),B=\sqrt{2ab}$とおくと

$$\begin{align*}(a+b)^2-2ab&=A^2-B^2\\ &=(A+B)(A-B)\\ &=(a+b+\sqrt{2ab})(a+b-\sqrt{2ab})\end{align*}$$

とすることができます。

しかし$a,b$に根号（べき乗）がついている項が出てきてしまいややこしく、特に方程式を解く際には使いづらい因数分解だと思います。