−1と
iと
−i、これらの立方根は何になるでしょうか?それらがどんな数であるのかを調べてみます。
−1の立方根
−13=−1となることを考えると−1の立方根の1つは−1であることがわかります。
また、オイラーの公式
eiθ=cosθ+isinθ
を考えると
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図1 複素平面上での−1 |
−1は複素平面上で図1のようになり動径のなす角はθ=πであるため
−1=−1+0i=cosπ+isinπ=eiπ
と表されます。
したがって、
(−1)13=(eiπ)13=eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+√32i
となり、−1の立方根の2つ目は12+√32iであることがわかりました。
あれ?−1はどこにいったの?となるかもしれません。
もう一度図1を見てみると、−1の点には原点を中心に青い円周上を1周(2π)回転させても同じ位置に戻ってくるため、動径のなす角はθ=π+2nπ=(2n+1)π(n:整数)で表せることがわかります。
これを踏まえて−1の立方根について考えると
−1=ei(2n+1)π
なので
(−1)13=ei2n+13πn=0eiπ3=12+√32i−−−−−−−−−n=1ei33π=eiπ=−1−−−n=2e53π=cos53π+isin53π=12−√32i−−−−−−−−−n=3ei73π=ei(π3+2π)=eiπ3⋮
となり、n=1のとき−1の立方根として−1があることがわかります。また、n=2のとき3つ目の−1の立方根が12−√32iであることがわかります。
n=3以降はn=0,1,2のときのいずれかになるので、−1を含む3つの−1の立方根を求めることができました。
iの立方根
(−i)3=iとなることを考えるとiの立方根の1つは−iであることがわかります。
他のiの立方根は−1のときと同様にオイラーの公式を利用して求めます。
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図2 複素平面上でのi |
iは複素平面上では図2のようになるので
i=ei(π2+2nπ)=ei1+4n2π(n:整数)
となります。
また、
i13=(ei1+4n2π)13=ei(1+4n)π6
なので
n=0eiπ6=cosπ6+isinπ6=√32+12i−−−−−−−−−n=1ei56π=cos56π+isin56π=−√32+12i−−−−−−−−−−n=2ei96i=ei32i=cos32π+isin32=−i−−−n=3ei136π=ei(π6+2π)=eiπ6⋮
となり、3つのiの立方根を求めることができました。
−iの立方根
i3=−iとなることを考えると−iの立方根の1つはiであることがわかります。
複素平面からオイラーの公式に当てはめても良いですが、ちょっと変化球で
−i=−1⋅i
となることと、−1とiのオイラーの公式での表現を利用してみます。
−1⋅i=eiπ⋅eiπ2=ei(π+π2)=ei32π
さらに角度の範囲を拡張すればei(32π+2nπ)=ei3+4n2π(n:整数)となります。
したがって、
(−i)13=(ei3+4n2π)13=ei3+4n6π
となるから
n=0ei36π=eiπ2=cosπ2+isinπ2=i−n=1ei76π=cos76π+isin76π=−√32−12i−−−−−−−−−−n=2ei116π=cos116π+isin116π=√32−12i−−−−−−−−−n=3ei156π=ei52π=ei(π2+2π)=eiπ2⋮
となり、3つの−iの立方根を求めることができました。