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2021年11月25日

-1、i、-iの立方根は?

 1ii、これらの立方根は何になるでしょうか?それらがどんな数であるのかを調べてみます。

1の立方根

 13=1となることを考えると1の立方根の1つは1であることがわかります。

また、オイラーの公式
eiθ=cosθ+isinθ
を考えると
図1 複素平面上での1

1は複素平面上で図1のようになり動径のなす角はθ=πであるため
1=1+0i=cosπ+isinπ=eiπ
と表されます。

したがって、
(1)13=(eiπ)13=eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+32i
となり、1の立方根の2つ目は12+32iであることがわかりました。


 あれ?1はどこにいったの?となるかもしれません。
もう一度図1を見てみると、1の点には原点を中心に青い円周上を1周(2π)回転させても同じ位置に戻ってくるため、動径のなす角はθ=π+2nπ=(2n+1)π(n:整数)で表せることがわかります。

これを踏まえて1の立方根について考えると
1=ei(2n+1)π
なので
(1)13=ei2n+13πn=0eiπ3=12+32i_n=1ei33π=eiπ=1_n=2e53π=cos53π+isin53π=1232i_n=3ei73π=ei(π3+2π)=eiπ3
となり、n=1のとき1の立方根として1があることがわかります。また、n=2のとき3つ目の1の立方根が1232iであることがわかります。
n=3以降はn=0,1,2のときのいずれかになるので、1を含む3つの1の立方根を求めることができました。


iの立方根

 (i)3=iとなることを考えるとiの立方根の1つはiであることがわかります。

他のiの立方根は1のときと同様にオイラーの公式を利用して求めます。
図2 複素平面上でのi

iは複素平面上では図2のようになるので
i=ei(π2+2nπ)=ei1+4n2π(n:)
となります。

また、
i13=(ei1+4n2π)13=ei(1+4n)π6
なので
n=0eiπ6=cosπ6+isinπ6=32+12i_n=1ei56π=cos56π+isin56π=32+12i_n=2ei96i=ei32i=cos32π+isin32=i_n=3ei136π=ei(π6+2π)=eiπ6
となり、3つのiの立方根を求めることができました。

iの立方根

 i3=iとなることを考えるとiの立方根の1つはiであることがわかります。

複素平面からオイラーの公式に当てはめても良いですが、ちょっと変化球で
i=1i
となることと、1iのオイラーの公式での表現を利用してみます。
1i=eiπeiπ2=ei(π+π2)=ei32π
さらに角度の範囲を拡張すればei(32π+2nπ)=ei3+4n2π(n:整数)となります。

したがって、
(i)13=(ei3+4n2π)13=ei3+4n6π
となるから
n=0ei36π=eiπ2=cosπ2+isinπ2=i_n=1ei76π=cos76π+isin76π=3212i_n=2ei116π=cos116π+isin116π=3212i_n=3ei156π=ei52π=ei(π2+2π)=eiπ2
となり、3つのiの立方根を求めることができました。
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