割り算を引き算で表す とは？

　割り算を引き算で表現するとどうなるのでしょうか？

そのためにまずは掛け算の定義について考えます。

掛け算

　掛け算の定義は「かけられる数をかける数分の回数足す」です。

これをもとに掛け算を足し算で表します。

例として$2×3$で考えると以下のようになります。

図1　掛け算を足し算に

$2$が足し算に使う数、$3$が足す回数で結果が$6$になります。図1を見るとわかりますが、かける数の$3$は式の中には登場しません。

これをもとに割り算について考えます。

割り算

　割り算は掛け算の逆の計算であると考えます。

逆の計算とは積から足し算に使う数か足す回数を導き出すような計算ということです。

すると掛け算の定義のように割り算とは何かを考えると「わられる数を$0$にするには、わる数を何回引くか」または「わられる数を$0$にするには、何をわる数の回数分引けばよいか」のどちらかとなります。

　例として$6÷2$で考えると以下のようになります。

わられる数を$0$にするには、わる数を何回引くか

図2　割り算と引き算

$6$から$2$を引いていって$0$になるのは3回目なので$3$が答えとなります。つまり引く数がわる数、引く回数が商となります。

わられる数を$0$にするには、何をわる数の回数分引けばよいか

図3　割り算と引き算2

$6$から2回引いて$0$になる数は$3$なので、答えは$3$になります。つまり引く回数がわる数、引く数が商となります。

　$6÷2$の商を導くための引き算を比較してみると、何で引けばよいのかを総当りで探さなければならない後者に比べ、わられる数とわる数だけで組み立てられており$0$になるまで何回引いたかを数えるだけで商がわかる前者のほうがシンプルでより適しているように思います。

なので、割り算を引き算で表したとき意味することは何かというと「わられる数を$0$にするには、わる数を何回引くか」のほうが理解しやすいと言えるでしょう。

　しかしこうして割り算について考えてみると、割り算を引き算で表すことが難しいことがわかります。掛け算は足し算に変換しても計算結果は変わらない（積と和が一致する）ので1つの式で表すことができます。しかし、割り算の計算結果である商は、引き算に変換したときの引く回数となるので式の中に商にあたる数は現れず、1つの式では表せません。

これはあくまで割り算の考え方を式にしたものでしかないということです。

　このことから「割り算の”考え方”を引き算で表す」ことはできても、掛け算を足し算に変換するのと同等の意味での「割り算を引き算で表す」ことはできないということになります。