比の問題の解き方

1. 「AとBは同じテストを受けた。Aのテストの得点は50点、Bの得点は75点だった。
AとBのテストの得点の比を答えよ。」

2. 「AとBは同じテストを受けた。AとBのテストの得点の比は5:4だった。
Aの得点が80点であるとき、Bの得点は何点か？」

このような問題をどのように解けばよいでしょうか？

比とは

　例えば、長さが2mの青のロープと3mの赤のロープがあったとき、青と赤のロープの長さの関係を表したいとき、

a. 青のロープの長さは、赤のロープの長さの$\dfrac{2}{3}$倍
b. 赤のロープの長さは、青のロープの長さの$\dfrac{3}{2}$倍

のようにどちらか一方を基準にして何倍という1つの数で表す方法がありますが、基準を決めずに相対的に複数の数を比較する方法が比となります。

例の場合は、青と赤のロープの長さの比は、$2:3$と表されます。”:”を”÷”に置き換えて計算したものを比の値といい、例の場合では$2÷3$でa.の$\dfrac{2}{3}$と等しくなります。これは右側の比の数が基準になるからです。

比は相対的に比較する方法なので、1つの分数で表すことができない3つ以上の数を$1:2:3$のように1つの比で表すことができます。これを連比といいます。

1.の問題

　テストの得点はAが50点、Bが75点だったので、AとBの得点の比は$50:75$となります。

しかしここで比の値に着目します。この比の値は$\dfrac{50}{75}$なので約分すると

$$\frac{50}{75}=\frac{2}{3}$$

$\dfrac{2}{3}$を比で表すと$2:3$で、$50:75$と比の値が等しいので

$$50:75=2:3$$

と書けます。

比を答える場合は、約分をするように簡単な整数比に直す必要があります。

よって、答えは$\textbf{2:3}$です。

2.の問題

　Bの得点を$b$とすると、AとBの得点の比は$80:b$です。これは$5:4$と等しいので

$$\begin{equation}80:b=5:4\end{equation}$$

となります。

　これをどうやって解くかを考えます。

両辺で比が等しいならば比の値も等しいので

$$\frac{80}{b}=\frac{5}{4}$$

両辺に$4b$を掛けると

$$\begin{equation}80×4=5× b\end{equation}$$

$$\begin{align*}320&=5b\\ 5b&=320\end{align*}$$

両辺を5で割ると

$$b=64$$

したがって、Bの得点は64点であると求めることができました。

　比の式（比例式）を解く際に比の値を使って解きましたが、(1)と(2)の式を見比べてみると

図1　比例式の変形

図1のように比例式の外側の数同士の積と内側の数同士の積で(2)の式ができていることがわかります。

なので、比の値を考えずとも図1のように式を変形して比例式を解くことができます。