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2022年5月4日

1次関数と三角比

「直線y=12xy=3xのなす角をθとしたとき、tanθの値を求めよ。」

 直線の傾きはその直線とx軸のなす角の正接の値と等しいので、y=12xとx軸とのなす角をαとするとtanα=12y=3xとx軸とのなす角をβとするとtanβ=3となります。
これは任意の位置にy軸に平行な直線を引いてできる直角三角形の三角比からもわかります。
ここでθα,βで表してみるとθ=βαとなることから、加法定理を利用すればtanθの値を求めることができることがわかります。
tan(xy)=tanxtany1+tanxtany
となるから
tanθ=tan(βα)=tanβtanα1+tanαtanβ=3121+123=5252=1
となります。

tanの加法定理がわからなってしまっても、sin,cosの加法定理
sin(xy)=sinxcosycosxsinycos(xy)=cosxcosy+sinxsiny
と三角関数の相互関係
tanx=sinxcosx
さえ覚えていれば
tan(xy)=sin(xy)cos(xy)=sinxcosycosxsinycosxcosy+sinxsiny
両辺をcosxcosyで割って
tan(xy)=sinxcosxsinycosy1+sinxsinycosxcosy=tanxtany1+tanxtany
とその場で導くことができます。

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