1次関数と三角比

「直線$y=\dfrac{1}{2}x$と$y=3x$のなす角を$θ$としたとき、$\tanθ$の値を求めよ。」

　直線の傾きはその直線とx軸のなす角の正接の値と等しいので、$y=\dfrac{1}{2}x$とx軸とのなす角を$α$とすると$\tanα=\dfrac{1}{2}$、$y=3x$とx軸とのなす角を$β$とすると$\tanβ=3$となります。

これは任意の位置にy軸に平行な直線を引いてできる直角三角形の三角比からもわかります。

ここで$θ$を$α,β$で表してみると$θ=β-α$となることから、加法定理を利用すれば$\tanθ$の値を求めることができることがわかります。
\[\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}\]
となるから
\begin{align*}\tanθ&=\tan(β-α)\\[0.5em]&=\frac{\tanβ-\tanα}{1+\tanα\tanβ}\\[0.5em]&=\cfrac{3-\cfrac{1}{2}}{1+\cfrac{1}{2}\cdot3}\\[0.5em]&=\cfrac{\cfrac{5}{2}}{\cfrac{5}{2}}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となります。

正接の加法定理がわからなってしまっても、正弦と余弦の加法定理

\begin{align*}\sin(x-y)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y\\[0.5em]\cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y\end{align*}

さえ覚えていれば

\begin{align*}\tan(x-y)&=\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}\\[0.5em]&=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}\end{align*}

両辺を$\cos x\cos y$で割って

\begin{align*}\tan(x-y)&=\cfrac{\cfrac{\sin x}{\cos x}-\cfrac{\sin y}{\cos y}}{1+\cfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}\\[0.5em]&=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}\end{align*}

とその場で導くことができます。