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2022年5月4日

1次関数と三角比

「直線y=\dfrac{1}{2}xy=3xのなす角をθとしたとき、\tanθの値を求めよ。」

 直線の傾きはその直線とx軸のなす角の正接の値と等しいので、y=\dfrac{1}{2}xとx軸とのなす角をαとすると\tanα=\dfrac{1}{2}y=3xとx軸とのなす角をβとすると\tanβ=3となります。
これは任意の位置にy軸に平行な直線を引いてできる直角三角形の三角比からもわかります。
ここでθα,βで表してみるとθ=β-αとなることから、加法定理を利用すれば\tanθの値を求めることができることがわかります。
\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}
となるから
\begin{align*}\tanθ&=\tan(β-α)\\[0.5em]&=\frac{\tanβ-\tanα}{1+\tanα\tanβ}\\[0.5em]&=\frac{3-\cfrac{1}{2}}{1+\cfrac{1}{2}\cdot3}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{5}{2}}{\cfrac{5}{2}}\\[0.5em]&=1\end{align*}
となります。

\tanの加法定理がわからなってしまっても、\sin,\cosの加法定理
\begin{align*}\sin(x-y)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y\\[1em]\cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y\end{align*}
と三角関数の相互関係
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
さえ覚えていれば
\begin{align*}\tan(x-y)&=\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}\\[0.5em]&=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}\end{align*}
両辺を\cos x\cos yで割って
\begin{align*}\tan(x-y)&=\frac{\cfrac{\sin x}{\cos x}-\cfrac{\sin y}{\cos y}}{1+\cfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}\\[0.5em]&=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}\end{align*}
とその場で導くことができます。

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