1次関数と三角比

「直線$y=\dfrac{1}{2}x$と$y=3x$のなす角を$θ$としたとき、$\tanθ$の値を求めよ。」

　直線の傾きはその直線とx軸のなす角の正接の値と等しいので、$y=\dfrac{1}{2}x$とx軸とのなす角を$α$とすると$\tanα=\dfrac{1}{2}$、$y=3x$とx軸とのなす角を$β$とすると$\tanβ=3$となります。
これは任意の位置にy軸に平行な直線を引いてできる直角三角形の三角比からもわかります。

ここで$θ$を$α,β$で表してみると$θ=β-α$となることから、加法定理を利用すれば$\tanθ$の値を求めることができることがわかります。

\[\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}\]

となるから

\begin{align*}\tanθ&=\tan(β-α)\\[0.5em]&=\frac{\tanβ-\tanα}{1+\tanα\tanβ}\\[0.5em]&=\frac{3-\cfrac{1}{2}}{1+\cfrac{1}{2}\cdot3}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{5}{2}}{\cfrac{5}{2}}\\[0.5em]&=1\end{align*}

となります。

$\tan$の加法定理がわからなってしまっても、$\sin,\cos$の加法定理

\begin{align*}\sin(x-y)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y\\[1em]\cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y\end{align*}

と三角関数の相互関係

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

さえ覚えていれば

\begin{align*}\tan(x-y)&=\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}\\[0.5em]&=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}\end{align*}

両辺を$\cos x\cos y$で割って

\begin{align*}\tan(x-y)&=\frac{\cfrac{\sin x}{\cos x}-\cfrac{\sin y}{\cos y}}{1+\cfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}}\\[0.5em]&=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}\end{align*}

とその場で導くことができます。

関連：三角関数の加法定理

関連：三角関数$\sinθ,\cosθ,\tanθ$の相互関係