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2022年5月28日

仕事算の問題を解く

「同じ仕事を終わらせるのにAさんは4日、Bさんは8日、Cさんは10日かかる。
この仕事をAさんとCさんの2人で最初の2日間こなし、翌日残りをBさん1人に引き継いだ。Bさんは何日で仕事を終わらせることができるか?」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか?

 2通りの方法で解いてみます。

1. 割合で考える

 仕事全体の量を基準の1として1日あたりにこなす仕事の量の割合から問題を解きます。

Aさんは4日で仕事を終わらせるのでAさんが1日あたりにこなす仕事の量の割合は\dfrac{1}{4}となります。
同様にBさんが1日あたりにこなす仕事の量の割合は\dfrac{1}{8}、Cさんは\dfrac{1}{10}となります。

以上からAさんとCさんの2人で1日あたりにこなすことができる仕事の量の割合は2人のこなせる仕事の量の割合を足して
\frac{1}{4}+\frac{1}{10}=\frac{7}{20}


であることがわかります。
AさんとCさんの2人が2日間でこなした仕事の量の割合は
\frac{7}{20}×2=\frac{7}{10}

なので、Bさんがこなす仕事の量の割合は仕事全体の量から差し引いて
1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}

であるとわかります。

Bさんが仕事を終えるのに必要な日数はこなす仕事の量の割合をBさんが1日あたりにこなす事ができる仕事の量の割合で割れば良いので
\begin{align*}\frac{3}{10}÷\frac{1}{8}&=\frac{3}{10}×8\\ \\ &=\frac{12}{5}\\ \\ &=2.4\end{align*}
より2.4日、すなわちBさんが仕事を引き継いで3日目に終わることがわかります。
したがって、答えは3日です。

2. 1人を基準に考える

 1.では仕事全体の量を基準にしましたが、こちらは3人のうち1人の1日あたりにこなせる仕事の量を基準にして考えます。
Aさんの1日あたりにこなせる仕事の量をa、Bさんのをb、Cさんのをcとおきます。
すると仕事全体の量は同じなので、等式で
4a=8b=10c


と書くことができます。
これを
\left\{\begin{aligned}4a&=8b\\ \\ 4a&=10c\end{aligned}\right.

と書き直し、b,cそれぞれについて解けば
b=\frac{1}{2}a,\ c=\frac{2}{5}a

となりAさんの1日あたりにこなせる仕事の量を基準にBさん、Cさんが1日あたりにこなせる仕事の量を考えることができます。

これを利用し、また1.と同様にしてAさんとCさん2人が2日間でこなした仕事の量は
\begin{align*}2(a+c)&=2\left(a+\frac{2}{5}a\right)\\ \\ &=2×\frac{7}{5}a\\ \\ &=\frac{14}{5}a\end{align*}
Bさんがこなす仕事の量は仕事全体の量は前述より4aで表せるから
4a-\frac{14}{5}a=\frac{6}{5}a
Bさんが仕事を終えるのに必要な日数はBさんが1日あたりにこなす事ができる仕事の量で割れば良いので
\begin{align*}\frac{6}{5}a÷\frac{1}{2}a&=\frac{6}{5}a×\frac{2}{a}\\ \\ &=\frac{12}{5}\\ \\ &=2.4\end{align*}
より2.4日、すなわちBさんが仕事を引き継いで3日目に終わることがわかります。
したがって、答えは3日です。
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