仕事算の問題を解く

「同じ仕事を終わらせるのにAさんは4日、Bさんは8日、Cさんは10日かかる。
この仕事をAさんとCさんの2人で最初の2日間こなし、翌日残りをBさん1人に引き継いだ。Bさんは何日で仕事を終わらせることができるか？」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

　2通りの方法で解いてみます。

1. 割合で考える

　仕事全体の量を基準の$1$として1日あたりにこなす仕事の量の割合から問題を解きます。

Aさんは4日で仕事を終わらせるのでAさんが1日あたりにこなす仕事の量の割合は$\dfrac{1}{4}$となります。
同様にBさんが1日あたりにこなす仕事の量の割合は$\dfrac{1}{8}$、Cさんは$\dfrac{1}{10}$となります。

以上からAさんとCさんの2人で1日あたりにこなすことができる仕事の量の割合は2人のこなせる仕事の量の割合を足して
\[\frac{1}{4}+\frac{1}{10}=\frac{7}{20}\]
であることがわかります。
AさんとCさんの2人が2日間でこなした仕事の量の割合は
\[\frac{7}{20}×2=\frac{7}{10}\]
なので、Bさんがこなす仕事の量の割合は仕事全体の量から差し引いて
\[1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\]
であるとわかります。

Bさんが仕事を終えるのに必要な日数はこなす仕事の量の割合をBさんが1日あたりにこなす事ができる仕事の量の割合で割れば良いので

\begin{align*}\frac{3}{10}÷\frac{1}{8}&=\frac{3}{10}×8\\ \\ &=\frac{12}{5}\\ \\ &=2.4\end{align*}

より$2.4$日、すなわちBさんが仕事を引き継いで$3$日目に終わることがわかります。

したがって、答えは3日です。

2. 1人を基準に考える

　1.では仕事全体の量を基準にしましたが、こちらは3人のうち1人の1日あたりにこなせる仕事の量を基準にして考えます。
Aさんの1日あたりにこなせる仕事の量を$a$、Bさんのを$b$、Cさんのを$c$とおきます。
すると仕事全体の量は同じなので、等式で
\[4a=8b=10c\]
と書くことができます。
これを
\[\left\{\begin{aligned}4a&=8b\\ \\ 4a&=10c\end{aligned}\right.\]
と書き直し、$b,c$それぞれについて解けば
\[b=\frac{1}{2}a,\ c=\frac{2}{5}a\]
となりAさんの1日あたりにこなせる仕事の量を基準にBさん、Cさんが1日あたりにこなせる仕事の量を考えることができます。

これを利用し、また1.と同様にしてAさんとCさん2人が2日間でこなした仕事の量は

\begin{align*}2(a+c)&=2\left(a+\frac{2}{5}a\right)\\ \\ &=2×\frac{7}{5}a\\ \\ &=\frac{14}{5}a\end{align*}

Bさんがこなす仕事の量は仕事全体の量は前述より$4a$で表せるから

\[4a-\frac{14}{5}a=\frac{6}{5}a\]

Bさんが仕事を終えるのに必要な日数はBさんが1日あたりにこなす事ができる仕事の量で割れば良いので

\begin{align*}\frac{6}{5}a÷\frac{1}{2}a&=\frac{6}{5}a×\frac{2}{a}\\ \\ &=\frac{12}{5}\\ \\ &=2.4\end{align*}

より$2.4$日、すなわちBさんが仕事を引き継いで$3$日目に終わることがわかります。

したがって、答えは3日です。