三平方の定理の逆は成り立つ？

　三平方の定理とは、

「直角三角形の直角をつくる辺の長さをそれぞれ$a, b$、斜辺の長さを$c$とすると$a^2+b^2=c^2$が成り立つ。」

というものです。

この逆は成り立つでしょうか？

　三平方の定理の逆は、

「3辺の長さがそれぞれ$a, b, c$の三角形に$a^2+b^2=c^2$が成り立つとき、その三角形は長さ$c$の辺を斜辺とする直角三角形である。」

となります。

これが成り立つことを確かめてみます。

　$△\text{ABC}$の辺$\text{BC, CA, AB}$の長さをそれぞれ$a, b, c$とし、頂点$\text{C}$から直線$\text{AB}$へ垂線をおろします。垂線の足を$\text{D}$とし、$\text{AD, BD}$の長さをそれぞれ$x, y$とします。

このとき、垂線の足の位置には3つの場合が考えられます。

点$\text{D}$が2点$\text{A, B}$間にあるとき

　垂線の足$\text{D}$が2点$\text{A, B}$間にあるとき$△\text{ABC}$は2つの直角三角形$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$にわかれます。

$△\text{ACD}$において三平方の定理より

$$\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=b^2\end{equation}$$

が成り立ちます。

また、$△\text{BCD}$において三平方の定理より

$$\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=a^2\end{equation}$$

が成り立ちます。

$(1)+(2)$より

$$\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=a^2+b^2\\[0.5em]&=c^2&(\because a^2+b^2=c^2)\end{align*}$$

ここで、$x+y=c$であることを考えれば$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=c^2$なので

$$\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=x^2+y^2+2xy\\[0.5em]\text{CD}^2&=xy\\[0.5em]\text{CD}&=\sqrt{xy}&(\because \text{CD}>0)\end{align*}$$

となります。

ところで$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$それぞれの辺の長さの比において

$$\begin{align*}\text{AD}:\text{CD}&=x:\sqrt{xy}\\[0.5em]&=\sqrt{x}:\sqrt{y}\\[1em]\text{CD}:\text{BD}&=\sqrt{xy}:y\\[0.5em]&=\sqrt{x}:\sqrt{y}\end{align*}$$

であり$∠\text{ADC}=∠\text{CDB}=90°$、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$は相似であることがわかります。

このことから

$$\begin{equation}∠\text{CAD}=∠\text{BCD}\end{equation}$$

また、直角三角形の2つの鋭角の和は$90°$なので

$$\begin{equation}∠\text{ACD}+∠\text{CAD}&=90°\end{equation}$$

$(3), (4)$より

$$∠\text{ACD}+∠\text{BCD}=∠\text{ACB}=90°$$

$∠\text{ACB}$が直角であることよりその対辺$\text{AB}$が斜辺、すなわち$△\text{ABC}$は辺$\text{AB}$を斜辺とする直角三角形であることがわかります。

点$\text{D}$が点$\text{A}$または$\text{B}$と重なるとき

　点$\text{D}$が点$\text{A}$または$\text{B}$と重なるとき$△\text{ABC}$は$∠\text{BAC}$または$∠\text{ABC}$が直角である直角三角形となります。

上図のように点$\text{D}$が点$\text{B}$と重なり$∠\text{ABC}$が直角である直角三角形で考えます。このとき$x=c, y=0$です。

三平方の定理より

$$\begin{equation}a^2+c^2=b^2\end{equation}$$

が成り立ちます。

しかし、$△\text{ABC}$は$a^2+b^2=c^2$が成り立つ三角形なので、$(5)$も満たすことができるかを調べます。

辺々を引くと

$$\begin{align*}c^2-b^2&=b^2-c^2\\[0.5em]c^2-b^2&=-(c^2-b^2)\end{align*}$$

となります。正負が反転しても等式が成立するのは$c^2-b^2=0$のときだけなので

$$\begin{align*}c^2&=b^2\\[0.5em]b&=c&(\because b, c>0)\end{align*}$$

これを$(5)$に代入すると

$$\begin{align*}a^2+b^2&=b^2\\[0.5em]a^2&=0\\[0.5em]a&=0\end{align*}$$

となるため、$△\text{ABC}$が成立しません。

したがって、$a^2+b^2=c^2$と$(5)$が同時に成立するような三角形は存在しないことがわかります。これは点$\text{D}$が点$\text{A}$と重なる場合でも同様です。

点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の延長上にあるとき

　点$\text{D}$が辺$\text{AB}$上になく、その延長上にあるとき2つの直角三角形$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$ができます。

上図のように点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の$\text{B}$の側の延長上にある場合を考えます。

$△\text{ACD}$において三平方の定理より

$$\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=b^2\end{equation}$$

が成り立ちます。

また、$△\text{BCD}$において三平方の定理より

$$\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=a^2\end{equation}$$

が成り立ちます。

$(6)+(7)$より

$$\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=a^2+b^2\\[0.5em]&=c^2&(\because a^2+b^2=c^2)\end{align*}$$

ここで、$x-y=c$であることを考えれば$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=c^2$なので

$$\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=x^2+y^2-2xy\\[0.5em]\text{CD}^2&=-xy\end{align*}$$

となります。

しかし、$x>0, y>0$より$-xy<0$なので$\text{CD}^2>0$であることと矛盾します。
ゆえに、点$\text{D}$は辺$\text{AB}$の$\text{B}$の側の延長上にないことがわかります。これは点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の$\text{A}$の側の延長上にある場合でも同様です。

したがって、この場合を満たすような三角形は存在しないことがわかります。

　以上より、三平方の定理の逆が成り立つことがわかります。

関連：三平方の定理（ピタゴラスの定理）

外部リンク：ピタゴラスの定理 - Wikipedia