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「直角三角形の直角をつくる辺の長さをそれぞれ$a, b$、斜辺の長さを$c$とすると$a^2+b^2=c^2$が成り立つ。」
というものです。
この逆は成り立つでしょうか？
三平方の定理の逆は、
「3辺の長さがそれぞれ$a, b, c$の三角形に$a^2+b^2=c^2$が成り立つとき、その三角形は長さ$c$の辺を斜辺とする直角三角形である。」
となります。
これが成り立つことを確かめてみます。
$△\text{ABC}$の辺$\text{BC, CA, AB}$の長さをそれぞれ$a, b, c$とし、頂点$\text{C}$から直線$\text{AB}$へ垂線をおろします。垂線の足を$\text{D}$とし、$\text{AD, BD}$の長さをそれぞれ$x, y$とします。
このとき、垂線の足の位置には3つの場合が考えられます。
点$\text{D}$が2点$\text{A, B}$間にあるとき
$△\text{ACD}$において三平方の定理より
\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=b^2\end{equation}
が成り立ちます。
また、$△\text{BCD}$において三平方の定理より
\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=a^2\end{equation}
が成り立ちます。
$(1)+(2)$より
\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=a^2+b^2\\[0.5em]&=c^2&(\because
a^2+b^2=c^2)\end{align*}
ここで、$x+y=c$であることを考えれば$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=c^2$なので
\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=x^2+y^2+2xy\\[0.5em]\text{CD}^2&=xy\\[0.5em]\text{CD}&=\sqrt{xy}&(\because
\text{CD}>0)\end{align*}
となります。
ところで$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$それぞれの辺の長さの比において
\begin{align*}\text{AD}:\text{CD}&=x:\sqrt{xy}\\[0.5em]&=\sqrt{x}:\sqrt{y}\\[1em]\text{CD}:\text{BD}&=\sqrt{xy}:y\\[0.5em]&=\sqrt{x}:\sqrt{y}\end{align*}
であり$∠\text{ADC}=∠\text{CDB}=90°$、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△\text{ACD}$と$△\text{BCD}$は相似であることがわかります。
このことから
\begin{equation}∠\text{CAD}=∠\text{BCD}\end{equation}
また、直角三角形の2つの鋭角の和は$90°$なので
\begin{equation}∠\text{ACD}+∠\text{CAD}&=90°\end{equation}
$(3), (4)$より
\[∠\text{ACD}+∠\text{BCD}=∠\text{ACB}=90°\]
$∠\text{ACB}$が直角であることよりその対辺$\text{AB}$が斜辺、すなわち$△\text{ABC}$は辺$\text{AB}$を斜辺とする直角三角形であることがわかります。
点$\text{D}$が点$\text{A}$または$\text{B}$と重なるとき
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上図のように点$\text{D}$が点$\text{B}$と重なり$∠\text{ABC}$が直角である直角三角形で考えます。このとき$x=c, y=0$です。
三平方の定理より
\begin{equation}a^2+c^2=b^2\end{equation}
が成り立ちます。
しかし、$△\text{ABC}$は$a^2+b^2=c^2$が成り立つ三角形なので、$(5)$も満たすことができるかを調べます。
辺々を引くと
\begin{align*}c^2-b^2&=b^2-c^2\\[0.5em]c^2-b^2&=-(c^2-b^2)\end{align*}
となります。正負が反転しても等式が成立するのは$c^2-b^2=0$のときだけなので
\begin{align*}c^2&=b^2\\[0.5em]b&=c&(\because
b, c>0)\end{align*}
これを$(5)$に代入すると
\begin{align*}a^2+b^2&=b^2\\[0.5em]a^2&=0\\[0.5em]a&=0\end{align*}
となるため、$△\text{ABC}$が成立しません。
したがって、$a^2+b^2=c^2$と$(5)$が同時に成立するような三角形は存在しないことがわかります。これは点$\text{D}$が点$\text{A}$と重なる場合でも同様です。
点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の延長上にあるとき
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上図のように点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の$\text{B}$の側の延長上にある場合を考えます。
$△\text{ACD}$において三平方の定理より
\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=b^2\end{equation}
が成り立ちます。
また、$△\text{BCD}$において三平方の定理より
\begin{equation}x^2+\text{CD}^2=a^2\end{equation}
が成り立ちます。
$(6)+(7)$より
\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=a^2+b^2\\[0.5em]&=c^2&(\because
a^2+b^2=c^2)\end{align*}
ここで、$x-y=c$であることを考えれば$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=c^2$なので
\begin{align*}x^2+y^2+2\text{CD}^2&=x^2+y^2-2xy\\[0.5em]\text{CD}^2&=-xy\end{align*}
となります。
しかし、$x>0, y>0$より$-xy<0$なので$\text{CD}^2>0$であることと矛盾します。
ゆえに、点$\text{D}$は辺$\text{AB}$の$\text{B}$の側の延長上にないことがわかります。これは点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の$\text{A}$の側の延長上にある場合でも同様です。
ゆえに、点$\text{D}$は辺$\text{AB}$の$\text{B}$の側の延長上にないことがわかります。これは点$\text{D}$が辺$\text{AB}$の$\text{A}$の側の延長上にある場合でも同様です。
したがって、この場合を満たすような三角形は存在しないことがわかります。
以上より、三平方の定理の逆が成り立つことがわかります。
外部リンク：ピタゴラスの定理 - Wikipedia
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