三角形にはこの円が必ず存在することを確かめてみようと思います。
まずは、9点が相異なる三角形、すなわち直角三角形や二等辺三角形でない三角形について考えます。
直角三角形や二等辺三角形以外の三角形の場合
九点円は三角形の3辺の中点を結んでできる三角形の外接円でもあるので、この外接円が他の6点も通ることを示す形で証明してみます。
3辺の中点を結んでできる三角形の外接円
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すると、中点連結定理より
\begin{gather*}\text{BC}//\text{MN}\\[0.5em]\text{BC}:\text{MN}=2:1\\[1em]\text{CA}//\text{LN}\\[0.5em]\text{CA}:\text{LN}=2:1\\[1em]\text{AB}//\text{LM}\\[0.5em]\text{AB}:\text{LM}=2:1\end{gather*}
が成り立ちます。
$\text{BC}:\text{MN}=\text{CA}:\text{LN}$$=\text{AB}:\text{LM}=2:1$より、3組の辺の比が等しいので$△\text{LMN}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形です。
この$△\text{LMN}$の外接円の中心（外心）がこれから証明する九点円の中心でもあるのですが、これがどこにあるのかについては別の記事に譲ります。
各頂点から対辺またはその延長への垂線の足
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まず、$△\text{LMN}$の外接円は点$\text{D}$を通るかについて考えます。
点$\text{D}$と点$\text{M}, \text{N}$を結び、$△\text{DMN}$をつくります。
$△\text{LMN}$と$△\text{DNM}$に着目すると、
このことから$∠\text{MLN}=∠\text{NDM}$が成り立ちます。
$△\text{LMN}$と$△\text{DNM}$に着目すると、
- 共通の辺なので$\text{MN}=\text{NM}$
-
以下の理由により$\text{LM}=\text{DN}$
$△\text{ABC}$における中点連結定理より$\text{AB}:\text{LM}=2:1$、すなわち$\text{LM}=\dfrac{1}{2}\text{AB}$
直角三角形$\text{ABD}$において、斜辺$\text{AB}$の中点$\text{N}$は外心なので$\text{AN}=\text{BN}=\text{DN}$、すなわち$\text{DN}=\dfrac{1}{2}\text{AB}$ - 同様にして$\text{LN}=\text{DM}$
このことから$∠\text{MLN}=∠\text{NDM}$が成り立ちます。
すると、円周角の定理の逆より4点$\text{D}, \text{L}, \text{M},
\text{N}$は同一円周上にあるということがわかり、これは$△\text{LMN}$の外接円は点$\text{D}$を通ることを意味します。
これと同様の手順によって、$△\text{LMN}$の外接円は残る2点$\text{E}, \text{F}$も通ることを示すことができます。
各頂点と垂心を結ぶ線分の中点
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まず、$△\text{LMN}$の外接円は2点$\text{P}, \text{Q}$を通るかについて考えます。
$△\text{HAB}$において中点連結定理より
$△\text{HAB}$において中点連結定理より
\begin{gather*}\text{AB}//\text{PQ}\\[0.5em]\text{AB}:\text{PQ}=2:1\end{gather*}
$△\text{HBC}, △\text{HCA}$においても同様に
\begin{gather*}\text{CH}//\text{LQ}\\[0.5em]\text{CH}:\text{LQ}=2:1\\[1em]\text{CH}//\text{MP}\\[0.5em]\text{CH}:\text{MP}=2:1\end{gather*}
が成り立ちます。
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$\text{AB}//\text{LM}, \text{AB}//\text{PQ}$より、$\text{LM}//\text{PQ}$であることがわかります。
また、$\text{CH}//\text{LQ}, \text{CH}//\text{MP}$より、$\text{LQ}//\text{MP}$であることがわかり、四角形$\text{PQLM}$は平行四辺形であることがわかります。
さらに$\text{AB}\perp \text{CH}$より、$\text{PQ}\perp
\text{LQ}$すなわち$∠\text{PQL}=90°$であることがわかるので、四角形$\text{PQLM}$は長方形であることがわかります。
すると台形の中点連結定理より、辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の垂直二等分線は同一直線ということがわかります。
（まず、辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線は辺$\text{LQ}, \text{MP}$に平行であることがいえ、これは辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線はこれらの辺に対し垂直ということです。さらにこのことから辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線はこれらの垂直二等分線であることがいえます。）
すると台形の中点連結定理より、辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の垂直二等分線は同一直線ということがわかります。
（まず、辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線は辺$\text{LQ}, \text{MP}$に平行であることがいえ、これは辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線はこれらの辺に対し垂直ということです。さらにこのことから辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$の中点をつないだ直線はこれらの垂直二等分線であることがいえます。）
同様に、$△\text{HAB}, △\text{HBC},
△\text{HCA}$それぞれの三角形における中点連結定理より得られる
\begin{gather*}\text{AH}//\text{NQ}\\[0.5em]\text{BH}//\text{NP}\\[0.5em]\text{AH}:\text{NQ}=\text{BH}:\text{NP}=2:1\\[1em]\text{BC}//\text{QR}\\[0.5em]\text{BH}//\text{LR}\\[0.5em]\text{BC}:\text{QR}=\text{BH}:\text{LR}=2:1\\[1em]\text{CA}//\text{RP}\\[0.5em]\text{AH}//\text{MR}\\[0.5em]\text{CA}:\text{RP}=\text{AH}:\text{MR}=2:1\end{gather*}
を利用することで、四角形$\text{QRMN}$は長方形で対辺$\text{MN},
\text{QR}$の垂直二等分線は同一直線、四角形$\text{RPNL}$も長方形で対辺$\text{NL},
\text{RP}$の垂直二等分線は同一直線ということもわかります。
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$△\text{LMN}$と$△\text{PQR}$について
- 上記より$\text{LM}=\text{PQ}$
- $\text{BC}:\text{MN}=\text{BC}:\text{QR}=2:1$より$\text{MN}=\text{QR}$
- $\text{CA}:\text{NL}=\text{CA}:\text{RP}=2:1$より$\text{NL}=\text{RP}$
また、辺$\text{LM}$と$\text{PQ}$、辺$\text{MN}$と$\text{QR}$、辺$\text{NL}$と$\text{RP}$それぞれの辺の組の垂直二等分線が同一直線ということは、$△\text{PQR}$の外心は$△\text{LMN}$の外心と同一点であるということです。
さらに、$△\text{LMN}$と$△\text{PQR}$が合同ということは、この2つの三角形の外接円の半径は等しいということです。
したがって、中心が同一点で半径が等しいので$△\text{LMN}$の外接円と$△\text{PQR}$の外接円は同一の円であり、これは$△\text{LMN}$の外接円は3点$\text{P}, \text{Q}, \text{R}$を通ることを意味します。
以上より、$△\text{LMN}$の外接円は6点$\text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{P}, \text{Q}, \text{R}$を通るため、直角三角形や二等辺三角形でない三角形は九点円をもつことがわかります。
次に、3辺の中点、頂点から対辺またはその延長への垂線の足、頂点と垂心を結ぶ線分の中点のうちいくつかが同一点となっている直角三角形や二等辺三角形について考えます。
直角三角形の場合
各頂点から対辺への垂線の足
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鋭角である$∠\text{B}, ∠\text{C}$の頂点から対辺への垂線の足は頂点$\text{A}$と同一の点となります。
したがって、各頂点から対辺への垂線の足は点$\text{A}$と$\text{D}$の2点のみとなります。
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$△\text{LMN}$の外接円が頂点$\text{A}$を通るかは以下の方法で示すことができます。
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直角三角形$\text{ABC}$と$△\text{LMN}$は相似であることより、四角形$\text{ANLM}$において$∠\text{MAN}=∠\text{MLN}=90°$が成り立ちます。
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したがって、円に内接する四角形の定理の逆より4点$\text{A}, \text{L}, \text{M},
\text{N}$が同一円周上にある、すなわち$△\text{LMN}$の外接円は頂点$\text{A}$を通ることがわかります。
各頂点と垂心を結ぶ線分の中点
垂心が頂点$\text{A}$と同一点であるため、頂点$\text{B},
\text{C}$と垂心を結ぶ線分の中点はそれぞれ辺$\text{AB}, \text{CA}$の中点$\text{N},
\text{M}$と同一点であり、頂点$\text{A}$と垂心を結ぶ線分はないため中点がありません。（あるいは、長さ$0$の線分と考えて中点は頂点$\text{A}$と同一点と考えることができます。）
したがって、$△\text{LMN}$の外接円は各頂点と垂心を結ぶ線分の中点を通ることがわかります。
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二等辺三角形の場合
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各頂点から対辺またはその延長へおろした垂線の足
頂点$\text{A}$から対辺$\text{BC}$へおろした垂線の足は辺$\text{BC}$の中点$\text{L}$と同一の点となります。
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各頂点と垂心を結ぶ線分の中点
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また、直角二等辺三角形の場合は、頂点$\text{B},
\text{C}$と垂心を結ぶ線分の中点はそれぞれ$\text{N},
\text{M}$と同一点であり、頂点$\text{A}$と垂心を結ぶ線分はないため中点がない（あるいは頂点$\text{A}$と同一点）ので、直角三角形の場合と同様の方法で示すことができます。
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