負の数の整数乗の大小関係 ~ 数学について考えてみる

　負の数の整数乗には、以下のような性質があります。

正の数$a$と整数$n$について

\begin{align*}&\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\\[1em]&\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\end{align*}

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]

正の数$a$と$m<n$である偶数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m>(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m<(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と偶数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=1\]

正の数$a$と偶数$m$、奇数$n$について

\[(-a)^m>(-a)^n\]

正の数$a$と$m<n$である奇数$m, n$について

\begin{cases}(-a)^m<(-a)^n&(0<a<1)\\[0.5em](-a)^m>(-a)^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と奇数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[(-a)^m=(-a)^n=-1\]

これらが成り立つことを確かめます。

負の数の整数乗の正負

　正の数$a$と整数$n$をもちいた負の数の整数乗$(-a)^n$について考えます。

$(-a)^n$は整数乗の指数法則より

\[(-a)^n=(-1)^n a^n\]

と書くことができ、$a^n$は正の数の整数乗であるため常に正です。

$n$は整数なので、必ず奇数か偶数のどちらかになります。
整数$m$をもちいれば$n$が偶数のとき$n=2m$と書くことができ、整数乗の指数法則より$(-1)^n$は

\begin{align*}(-1)^n&=(-1)^{2m}\\[0.5em]&=\bigl\{(-1)^2\bigr\}^m\\[0.5em]&=1^m\\[0.5em]&=1\end{align*}

となります。
すると、

\begin{align*}(-a)^n&=(-1)^n a^n\\[0.5em]&=1\times a^n\\[0.5em]&=a^n>0\end{align*}

となることがわかります。

$n$が奇数のときは$n=2m+1$と書くことができ、整数乗の指数法則より$(-1)^n$は

\begin{align*}(-1)^n&=(-1)^{2m+1}\\[0.5em]&=(-1)^{2m}\times(-1)^1\\[0.5em]&=1\times(-1)\\[0.5em]&=-1\end{align*}

となります。
すると、

\begin{align*}(-a)^n&=(-1)^n a^n\\[0.5em]&=-1\times a^n\\[0.5em]&=-a^n<0\end{align*}

となることがわかります。

以上をまとめると以下のようになります。

正の数$a$と整数$n$について

\[\begin{cases}(-a)^n=-a^n<0&(n:奇数)\\[0.5em](-a)^n=a^n>0&(n:偶数)\end{cases}\tag1\]

負の数の整数乗の絶対値

　負の数の整数乗$(-a)^n$の絶対値について考えます。

$n>0$のとき

　累乗の定義と絶対値の性質より

\begin{align*}\bigl|(-a)^n\bigr|&=\bigl|\overbrace{-a\times(-a)\times\cdots\times(-a)\times(-a)}^{n\text{個}}\bigr|\\[0.5em]&=\overbrace{|-a|\times|-a|\times\cdots\times|-a|\times|-a|}^{n\text{個}}\\[0.5em]&=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a\times a}^{n\text{個}}\\[0.5em]&=a^n\end{align*}

となります。

$n=0$のとき

　$0$乗の定義より

\begin{align*}\bigl|(-a)^n\bigr|&=\bigl|1\bigr|\\[0.5em]&=1\end{align*}

となります。

また、$a^n=1$でもあるので

\[\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n=1\]

が成り立ちます。

$n<0$のとき

　$n=-n'$（$n'>0$）とおくと負の整数乗の定義より

\begin{align*}\bigl|(-a)^n\bigr|&=\bigl|(-a)^{-n'}\bigr|\\[0.5em]&=\left|\frac{1}{(-a)^{n'}}\right|\\[0.5em]&=\frac{|1|}{\bigl|(-a)^{n'}\bigr|}\\[0.5em]&=\frac{1}{\bigl|(-a)^{n'}\bigr|}\\[0.5em]&=\frac{1}{a^{n'}}&(\because n>0のとき)\end{align*}

となり、再び負の整数乗の定義より

\begin{align*}\frac{1}{a^{n'}}&=a^{-n'}\\[0.5em]&=a^n\end{align*}

となります。

したがって、

\[\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\]

となることがわかります。

　以上より、$n$の値にかかわらず

正の数$a$と整数$n$について

\[\large\bigl|(-a)^n\bigr|=a^n\]

となることがわかります。

負の数の整数乗の絶対値の大小関係

　上述より、正の数$a$とである整数$m, n$について

\begin{align*}\bigl|(-a)^m\bigr|&=a^m\tag{i}\\[1em]\bigl|(-a)^n\bigr|&=a^n\tag{ii}\end{align*}

となります。

ここで、正の数の整数乗の大小関係

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}a^m>a^n&(0<a<1)\\[0.5em]a^m<a^n&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[a^m=a^n=1\]

に$\text{(i),(ii)}$を代入すると

正の数$a$と$m<n$である整数$m, n$について

\begin{cases}\bigl|(-a)^m\bigr|>\bigl|(-a)^n\bigr|&(0<a<1)\\[0.5em]\bigl|(-a)^m\bigr|<\bigl|(-a)^n\bigr|&(1<a)\end{cases}

$a=1$である正の数$a$と整数$m, n$について、$m, n$の大小関係にかかわらず

\[\bigl|(-a)^m\bigr|=\bigl|(-a)^n\bigr|=1\]

となります。