2次関数のグラフ上の2点を通る直線のy切片を求める

「2次関数$y=\dfrac{1}{3}x^2$のグラフ上のx座標が$-2$と$6$である2点を通る直線のy切片を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　頂点が原点にある任意の2次関数$y=ax^2$の場合を考えてみます。

このグラフ上のx座標が$p$と$q$である2点の座標は$(p,ap^2),(q,aq^2)$となります。

この2点を通る直線の方程式は

\begin{align*}y&=\frac{aq^2-ap^2}{q-p}(x-p)+ap^2\\ \\ y&=a\frac{q^2-p^2}{q-p}(x-p)+ap^2\\ \\ y&=a\frac{(q+p)(q-p)}{q-p}(x-p)+ap^2\\ \\ y&=a(q+p)(x-p)+ap^2\\ \\ y&=a(q+p)x+a(q+p)(-p)+ap^2\\ \\ y&=a(p+q)x-apq\end{align*}

となり、y切片は$-apq$であるとわかります。

　これを利用して問題を解くと、$a=\dfrac{1}{3},p=-2,q=6$を代入すれば良いので、

\[-apq=-\frac{1}{3}\times(-2)\times6=4\]

となります。

実際に2点を通る直線の方程式を求めてみると、$y=\dfrac{1}{3}x^2$のグラフ上のx座標が$-2$と$6$である2点の座標は$(-2,\dfrac{4}{3}),(6,12)$であるから、

\begin{align*}y&=\cfrac{12-\cfrac{4}{3}}{6-(-2)}(x+2)+\frac{4}{3}\\ \\ y&=\cfrac{\cfrac{32}{3}}{8}(x+2)+\frac{4}{3}\\ \\ y&=\frac{4}{3}(x+2)+\frac{4}{3}\\ \\ y&=\frac{4}{3}x+4\end{align*}

となり、確かにy切片が$4$となることがわかります。

実際にグラフを描いてみると直線のy切片は4になる

　今度は任意の2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフ上の2点を通る直線のy切片について考えてみます。

同様にグラフ上の2点のx座標がそれぞれ$p,q$であるとき、この2点の座標は$(p,ap^2+bp+c),(q,aq^2+bq+c)$となります。

この2点を通る直線の方程式は

\begin{align*}y&=\frac{(aq^2+bq+c)-(ap^2+bp+c)}{q-p}(x-p)+ap^2+bp+c\\ \\ y&=\frac{a(q^2-p^2)+b(q-p)}{q-p}(x-p)+ap^2+bp+c\\ \\ y&=\{a(p+q)+b\}(x-p)+ap^2+bp+c\\ \\ y&=\{a(p+q)+b\}x+\{a(p+q)+b\}(-p)+ap^2+bp+c\\ \\ y&=\{a(p+q)+b\}x-apq+c\end{align*}

となり、y切片は$-apq+c$となります。