「2次関数y=13x2のグラフ上のx座標が−2と6である2点を通る直線のy切片を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
頂点が原点にある任意の2次関数y=ax2の場合を考えてみます。
このグラフ上のx座標が
pと
qである2点の座標は
(p,ap2),(q,aq2)となります。
この2点を通る直線の方程式は
y=aq2−ap2q−p(x−p)+ap2y=aq2−p2q−p(x−p)+ap2y=a(q+p)(q−p)q−p(x−p)+ap2y=a(q+p)(x−p)+ap2y=a(q+p)x+a(q+p)(−p)+ap2y=a(p+q)x−apq
となり、y切片は
−apqであるとわかります。
これを利用して問題を解くと、
a=13,p=−2,q=6を代入すれば良いので、
−apq=−13×(−2)×6=4
となります。
実際に2点を通る直線の方程式を求めてみると、
y=13x2のグラフ上のx座標が
−2と
6である2点の座標は
(−2,43),(6,12)であるから、
y=12−436−(−2)(x+2)+43y=3238(x+2)+43y=43(x+2)+43y=43x+4
となり、確かにy切片が
4となることがわかります。
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実際にグラフを描いてみると直線のy切片は4になる
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今度は任意の2次関数y=ax2+bx+cのグラフ上の2点を通る直線のy切片について考えてみます。
同様にグラフ上の2点のx座標がそれぞれ
p,qであるとき、この2点の座標は
(p,ap2+bp+c),(q,aq2+bq+c)となります。
この2点を通る直線の方程式は
y=(aq2+bq+c)−(ap2+bp+c)q−p(x−p)+ap2+bp+cy=a(q2−p2)+b(q−p)q−p(x−p)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}(x−p)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}x+{a(p+q)+b}(−p)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}x−apq+c
となり、y切片は
−apq+cとなります。