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2023年1月5日

2次関数のグラフ上の2点を通る直線のy切片を求める

「2次関数y=13x2のグラフ上のx座標が26である2点を通る直線のy切片を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


 頂点が原点にある任意の2次関数y=ax2の場合を考えてみます。
y=ax^2の2点を通る直線のy切片
このグラフ上のx座標がpqである2点の座標は(p,ap2),(q,aq2)となります。
この2点を通る直線の方程式は
y=aq2ap2qp(xp)+ap2y=aq2p2qp(xp)+ap2y=a(q+p)(qp)qp(xp)+ap2y=a(q+p)(xp)+ap2y=a(q+p)x+a(q+p)(p)+ap2y=a(p+q)xapq
となり、y切片はapqであるとわかります。

 これを利用して問題を解くと、a=13,p=2,q=6を代入すれば良いので、
apq=13×(2)×6=4
となります。
実際に2点を通る直線の方程式を求めてみると、y=13x2のグラフ上のx座標が26である2点の座標は(2,43),(6,12)であるから、
y=12436(2)(x+2)+43y=3238(x+2)+43y=43(x+2)+43y=43x+4
となり、確かにy切片が4となることがわかります。
y=x^2/3とy=4x/3+4
実際にグラフを描いてみると直線のy切片は4になる

 今度は任意の2次関数y=ax2+bx+cのグラフ上の2点を通る直線のy切片について考えてみます。
y=ax^2+bx+cの2点を通る直線のy切片
同様にグラフ上の2点のx座標がそれぞれp,qであるとき、この2点の座標は(p,ap2+bp+c),(q,aq2+bq+c)となります。
この2点を通る直線の方程式は
y=(aq2+bq+c)(ap2+bp+c)qp(xp)+ap2+bp+cy=a(q2p2)+b(qp)qp(xp)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}(xp)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}x+{a(p+q)+b}(p)+ap2+bp+cy={a(p+q)+b}xapq+c
となり、y切片はapq+cとなります。

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