「$250!$を素因数分解すると$11$はいくつ含まれるかを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
$250!$は$1$から$250$までの整数をすべて掛け合わせた数であることを表しています。
このことから、この問題は$1$から$250$までの整数をすべて素因数分解してそれぞれの素因数$11$の個数を全部足し合わせると何個になるか？を問うていることになります。
このことから、この問題は$1$から$250$までの整数をすべて素因数分解してそれぞれの素因数$11$の個数を全部足し合わせると何個になるか？を問うていることになります。
なのでまずは$1$から$250$までの整数の中に少なくとも素因数$11$を1個含む数、すなわち11の倍数がいくつあるのかを調べます。
そのためには$250$を$11$で割ります。
そのためには$250$を$11$で割ります。
\[250\div11=22\ 余り8\]
商が$22$なので、11の倍数は22個あることがわかります。
なぜ割り算で11の倍数の個数が求められたのでしょうか？
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このグループの最後に必ず11の倍数が加わりグループが完成します。
11個の数が入った完成したグループは22個でき、$243$から$250$までの8個の数が余りとなります。
完成したグループには必ず11の倍数が入っているので、完成したグループの数が11の倍数の個数と等しいことがわかります。
また、22個の11の倍数の中には素因数$11$を少なくとも2個持つものが含まれています。
これの個数を求めるには11の倍数の個数$22$を$11$で割ります。
これの個数を求めるには11の倍数の個数$22$を$11$で割ります。
\[22\div11=2\]
商が$2$なので、11の倍数の中の素因数$11$を少なくとも2個持つものは2個であることがわかります。
この計算についても11の倍数の個数を求めたときと同様に考えます。
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11の倍数を$11$から小さい順に11個ずつのグループをつくると、グループの最後に必ず11の倍数が掛けられた11の倍数が加わります。
11の倍数が掛けたれた11の倍数というのは、少なくとも2個の素因数$11$を持つ数であるので、完成したグループの個数が少なくとも2個の素因数$11$を持つ数の個数に等しいことがわかります。
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11の倍数が掛けたれた11の倍数というのは、少なくとも2個の素因数$11$を持つ数であるので、完成したグループの個数が少なくとも2個の素因数$11$を持つ数の個数に等しいことがわかります。
素因数$11$を3つ持つ数は最も小さいもので$11^3=1331$であるので、$1$から$250$までの整数の中には存在しません。
したがって、$1$から$250$までの整数の中に素因数$11$を少なくとも1個持つ数は11の倍数の個数の22個、2個目の素因数$11$を持つものが22個の11の倍数中に2個なので、$250!$を素因数分解すると素因数$11$は$22+2=24（個）$含まれることがわかります。
割る数は$250$のままでも解くことができます。
$1$から$250$までの整数の中に素因数$11$を少なくとも1個持つ数は11の倍数であるから、
$1$から$250$までの整数の中に素因数$11$を少なくとも1個持つ数は11の倍数であるから、
\[250\div11=22\ 余り8\]
$1$から$250$までの整数の中に素因数$11$を少なくとも2個持つ数は$11^2=121$の倍数であるから、
\[250\div121=2\ 余り8\]
素因数$11$を少なくとも3個持つ数は$11^3=1331$の倍数であるから、$1$から$250$までの整数の中には存在しません。
したがって、$250!$を素因数分解したときの素因数$11$の個数はそれぞれの商の和より$22+2=24$（個）であるとわかります。
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