「250!を素因数分解すると11はいくつ含まれるかを求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？
250!は1から250までの整数をすべて掛け合わせた数であることを表しています。
このことから、この問題は1から250までの整数をすべて素因数分解してそれぞれの素因数11の個数を全部足し合わせると何個になるか？を問うていることになります。
このことから、この問題は1から250までの整数をすべて素因数分解してそれぞれの素因数11の個数を全部足し合わせると何個になるか？を問うていることになります。
なのでまずは1から250までの整数の中に少なくとも素因数11を1個含む数、すなわち11の倍数がいくつあるのかを調べます。
そのためには250を11で割ります。
そのためには250を11で割ります。
250\div11=22\ 余り8
商が22なので、11の倍数は22個あることがわかります。
なぜ割り算で11の倍数の個数が求められたのでしょうか？
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このグループの最後に必ず11の倍数が加わりグループが完成します。
11個の数が入った完成したグループは22個でき、243から250までの8個の数が余りとなります。
完成したグループには必ず11の倍数が入っているので、完成したグループの数が11の倍数の個数と等しいことがわかります。
また、22個の11の倍数の中には素因数11を少なくとも2個持つものが含まれています。
これの個数を求めるには11の倍数の個数22を11で割ります。
これの個数を求めるには11の倍数の個数22を11で割ります。
22\div11=2
商が2なので、11の倍数の中の素因数11を少なくとも2個持つものは2個であることがわかります。
この計算についても11の倍数の個数を求めたときと同様に考えます。
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11の倍数を11から小さい順に11個ずつのグループをつくると、グループの最後に必ず11の倍数が掛けられた11の倍数が加わります。
11の倍数が掛けたれた11の倍数というのは、少なくとも2個の素因数11を持つ数であるので、完成したグループの個数が少なくとも2個の素因数11を持つ数の個数に等しいことがわかります。
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11の倍数が掛けたれた11の倍数というのは、少なくとも2個の素因数11を持つ数であるので、完成したグループの個数が少なくとも2個の素因数11を持つ数の個数に等しいことがわかります。
素因数11を3つ持つ数は最も小さいもので11^3=1331であるので、1から250までの整数の中には存在しません。
したがって、1から250までの整数の中に素因数11を少なくとも1個持つ数は11の倍数の個数の22個、2個目の素因数11を持つものが22個の11の倍数中に2個なので、250!を素因数分解すると素因数11は22+2=24（個）含まれることがわかります。
割る数は250のままでも解くことができます。
1から250までの整数の中に素因数11を少なくとも1個持つ数は11の倍数であるから、
1から250までの整数の中に素因数11を少なくとも1個持つ数は11の倍数であるから、
250\div11=22\ 余り8
1から250までの整数の中に素因数11を少なくとも2個持つ数は11^2=121の倍数であるから、
250\div121=2\ 余り8
素因数11を少なくとも3個持つ数は11^3=1331の倍数であるから、1から250までの整数の中には存在しません。
したがって、250!を素因数分解したときの素因数11の個数はそれぞれの商の和より22+2=24（個）であるとわかります。
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