どの三角形においても、3つの内角の二等分線がただ1点で交わり、必ず内心が存在することを確かめてみます。
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内角$∠\text{C}$の二等分線が点$\text{I}$を通ることが示せれば、どの三角形にも内心が存在することがわかります。
まず、交点$\text{I}$の位置について考えます。
$∠\text{A}$の二等分線は対辺$\text{BC}$と交わり、同様に$∠\text{B}$の二等分線は対辺$\text{CA}$と交わります。
すなわち、これら2本の二等分線は頂点から対辺までの間は三角形の内部を通ります。
すなわち、これら2本の二等分線は頂点から対辺までの間は三角形の内部を通ります。
したがって、$∠\text{A}, ∠\text{B}$の二等分線が交わるとすれば、それは三角形の内部であるため、交点$\text{I}$は必ず三角形の内部にあります。
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- 共通する斜辺より$\text{AI}=\text{AI}$
- $∠\text{A}$の二等分線より$∠\text{IAD}=∠\text{IAF}$
このことから、
\begin{equation}\text{DI}=\text{FI}\end{equation}
です。
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- 共通する斜辺より$\text{BI}=\text{BI}$
- $∠\text{B}$の二等分線より$∠\text{IBD}=∠\text{IBE}$
このことから、
\begin{equation}\text{DI}=\text{EI}\end{equation}
です。
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\begin{equation}\text{EI}=\text{FI}\end{equation}
であることがわかります。
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- 共通する斜辺より$\text{CI}=\text{CI}$
- $(3)$より$\text{IE}=\text{IF}$
このことから、
\begin{equation}\angle \text{ICE}=\angle \text{ICF}\end{equation}
です。
$∠\text{ICE},
∠\text{ICF}$は$∠\text{C}$を半直線$\text{CI}$によって分割してできた角なので、$(4)$より、半直線$\text{CI}$は$∠\text{C}$の二等分線であることがわかります。
内心の性質
$(1),
(2)$より、$\text{DI}=\text{EI}=\text{FI}$なので、内心は三角形の各辺からの距離が等しい三角形内部の点であるといえます。
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そして、$△\text{ABC}$の辺$\text{AB}$と円$\text{I}$の半径$\text{DI}$、辺$\text{BC}$と半径$\text{EI}$、辺$\text{CA}$と半径$\text{FI}$はそれぞれ互いに垂直であることから、円$\text{I}$は$△\text{ABC}$のすべての辺と接する内接円であることがわかります。
したがって、内心は三角形の内接円の中心となります。
したがって、内心は三角形の内接円の中心となります。
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