（中線とは、頂点と対辺の中点を通る直線のことですが、ここでは頂点と対辺の中点を結ぶ線分のこととします。）
どの三角形においても、3本の中線がただ1点で交わり、必ず重心が存在することを確かめてみます。
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直線$\text{CG}$が辺$\text{AB}$の中点を通ることが示せれば、3本の中線がただ1点で交わり、どの三角形にも重心が必ず存在することがわかります。
まず、点$\text{G}$の位置について考えます。
中線$\text{AD}$は頂点$\text{A}$と辺$\text{BC}$の中点$\text{D}$を結ぶ線分なので、$△\text{ABC}$の内部にあります。
同様に、中線$\text{BE}$も頂点$\text{B}$と辺$\text{CA}$の中点$\text{E}$を結ぶ線分なので、$△\text{ABC}$の内部にあります。
同様に、中線$\text{BE}$も頂点$\text{B}$と辺$\text{CA}$の中点$\text{E}$を結ぶ線分なので、$△\text{ABC}$の内部にあります。
したがって、中線$\text{AD}, \text{BE}$が交わるとすれば、それは$△\text{ABC}$の内部であるため、点$\text{G}$は必ず$△\text{ABC}$の内部にあります。
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チェバの定理より
\begin{equation}\frac{\text{AF}}{\text{FB}}\cdot\frac{\text{BD}}{\text{DC}}\cdot\frac{\text{CE}}{\text{EA}}=1\end{equation}
が成り立ちます。
ここで、辺$\text{BC}$の中点は$\text{D}$なので$\text{BD}=\text{DC}$であり、
\begin{equation}\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=1\end{equation}
となります。
同様に、辺$\text{CA}$の中点は$\text{E}$なので$\text{CE}=\text{EA}$であり、
\begin{equation}\frac{\text{CE}}{\text{EA}}=1\end{equation}
となります。
$(1)$に$(2), (3)$を代入すると
\begin{align*}\frac{\text{AF}}{\text{FB}}\cdot1\cdot1&=1\\[0.5em]\frac{\text{AF}}{\text{FB}}&=1\\[0.5em]\text{AF}&=\text{FB}\end{align*}
となり、点$\text{F}$は辺$\text{AB}$の中点であることがわかります。
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重心の性質
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\[\large
\text{AG}:\text{GD}=\text{BG}:\text{GE}=\text{CG}:\text{GF}=2:1\]
が成り立ちます。
これはメネラウスの定理より示せます。
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$△\text{ABD}$と直線$\text{CF}$において、メネラウスの定理より
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$△\text{BCE}$と直線$\text{AD}$、$△\text{CAF}$と直線$\text{BE}$それぞれにおいても、メネラウスの定理より
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\begin{equation}\frac{\text{AG}}{\text{GD}}\cdot\frac{\text{DC}}{\text{CB}}\cdot\frac{\text{BF}}{\text{FA}}=1\end{equation}
が成り立ちます。
ここで、辺$\text{BC}$の中点は$\text{D}$なので$\text{CB}=2\text{DC}$であり、
\begin{equation}\frac{\text{DC}}{\text{CB}}=\frac{1}{2}\end{equation}
となります。
辺$\text{AB}$の中点は$\text{F}$なので$\text{BF}=\text{FA}$であり、
\begin{equation}\frac{\text{BF}}{\text{FA}}=1\end{equation}
が成り立ちます。
$(4)$に$(5), (6)$を代入すると
\begin{align*}\frac{\text{AG}}{\text{GD}}\cdot\frac{1}{2}\cdot1&=1\\[0.5em]\frac{\text{AG}}{\text{GD}}&=2\\[0.5em]\therefore
\text{AG}:\text{GD}&=2:1\tag7\end{align*}
であることがわかります。
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\begin{align*}\text{BG}:\text{GE}&=2:1\tag8\\[1em]\text{CG}:\text{GF}&=2:1\tag9\end{align*}
を得ることができ、$(7), (8), (9)$より
\[\large
\text{AG}:\text{GD}=\text{BG}:\text{GE}=\text{CG}:\text{GF}=2:1\]
が成り立つことがわかります。
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\[\large \triangle \text{ABG}=\triangle \text{BCG}=\triangle
\text{CAG}\]
が成り立ちます。
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$△\text{ABG}$の辺$\text{AG}$と$△\text{BDG}$の辺$\text{GD}$をそれぞれの底辺とみると、これらの三角形の高さが等しいので、$△\text{ABG}$と$△\text{BDG}$の面積比は底辺の長さの比$\text{AG}:\text{GD}$に等しいことがわかります。
そして、上記より$\text{AG}:\text{GD}=2:1$なので、$△\text{ABG}$と$△\text{BDG}$の面積比は
そして、上記より$\text{AG}:\text{GD}=2:1$なので、$△\text{ABG}$と$△\text{BDG}$の面積比は
\[\triangle \text{ABG}:\triangle \text{BDG}=2:1\]
であり、すなわち
\[\triangle \text{ABG}=2\triangle \text{BDG}\tag{10}\]
であることがわかります。
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$△\text{CAG}$の辺$\text{AG}$と$△\text{CDG}$の辺$\text{GD}$をそれぞれの底辺とみると、これらの三角形の高さが等しく、$\text{AG}:\text{GD}=2:1$なので、$△\text{CAG}$と$△\text{CDG}$の面積比は
\[\triangle \text{CAG}:\triangle \text{CDG}=2:1\]
であり、すなわち
\[\triangle \text{CAG}=2\triangle \text{CDG}\tag{11}\]
であることがわかります。
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$△\text{BDG}$の辺$\text{BD}$と$△\text{CDG}$の辺$\text{CD}$をそれぞれの底辺とみると、これらの三角形の高さが等しく、$\text{BD}:\text{CD}=1:1$なので、$△\text{BDG}$と$△\text{CDG}$の面積比は
\[\triangle \text{BDG}:\triangle \text{CDG}=1:1\]
であり、すなわち
\[\triangle \text{BDG}=\triangle \text{CDG}\]
であることがわかります。
また、$△\text{BCG}$を分割したものが$△\text{BDG}$と$△\text{CDG}$なので、
\[\triangle \text{BCG}=2\triangle \text{BDG}=2\triangle
\text{CDG}\tag{12}\]
が成り立つことがわかります。
$(10), (11), (12)$より
\[\large \triangle \text{ABG}=\triangle \text{BCG}=\triangle
\text{CAG}\]
が成り立つことがわかります。
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