どの三角形においても、3本の垂線がただ1点で交わり、必ず垂心が存在することを確かめます。
任意の三角形$△\text{ABC}$を考えます。
三角形は鋭角三角形、鈍角三角形、直角三角形のいずれかに必ず含まれるので、鋭角三角形または鈍角三角形の場合と直角三角形の場合で分けて考えます。
鋭角三角形・鈍角三角形の場合
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同様に、頂点$\text{B}$を通り辺$\text{CA}$またはその延長に対する垂線を引き、交点を$\text{E}$とします。
すると、頂点$\text{A}$を通り辺$\text{BC}$またはその延長に対する垂線は直線$\text{AD}$、頂点$\text{B}$を通り辺$\text{CA}$またはその延長に対する垂線は直線$\text{BE}$となります。
垂線$\text{AD}$と$\text{BE}$の交点を$\text{H}$とします。
直線$\text{CH}$と辺$\text{AB}$またはその延長との交点を$\text{F}$としたとき、$∠\text{AFC}$が直角であれば、3本の垂線がただ1点で交わり、どの三角形にも垂心が必ず存在することがわかります。
そして、円周角の定理より、弧$\text{EH}$に対する円周角は等しいので、$∠\text{ECH}=∠\text{EDH}$が成り立ちます。
なお、$∠\text{ECH}$は$∠\text{ACF}$と共通する角、$∠\text{EDH}$は$∠\text{ADE}$と共通する角なので、
なお、$∠\text{ECH}$は$∠\text{ACF}$と共通する角、$∠\text{EDH}$は$∠\text{ADE}$と共通する角なので、
\begin{equation}\angle \text{ACF}=\angle \text{ADE}\end{equation}
と書くことができます。
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そして、円周角の定理より、弧$\text{AE}$に対する円周角は等しいので
\begin{equation}\angle \text{ABE}=\angle \text{ADE}\end{equation}
が成り立つことがわかります。
$(1), (2)$より
\begin{equation}\angle \text{ABE}=\angle \text{ACF}\end{equation}
です。
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- 共通する角なので$∠\text{BAE}=∠\text{CAF}$
- $(3)$より$∠\text{ABE}=∠\text{ACF}$
このことから、
\[∠\text{AEB}=∠\text{AFC}=90°\]
です。
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直角三角形の場合
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すると、頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へおろした垂線は辺$\text{AB}$と一致します。
同様に、頂点$\text{C}$から辺$\text{AB}$へおろした垂線は辺$\text{BC}$と一致します。
したがって、これらの垂線は頂点$\text{B}$で交わります。
そして、頂点$\text{B}$から辺$\text{CA}$へおろした垂線は頂点$\text{B}$を通ります。
よって、3本の垂線がただ1点で交わるので、どの直角三角形にも垂心が必ず存在することがわかります。
以上より、どの三角形にも垂心が必ず存在することがわかります。
垂心の性質
三角形の垂心は、頂点を通り対辺に平行な直線を引くことでできる大きな三角形の外心となります。
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同様に、頂点$\text{B}$を通り対辺$\text{CA}$に平行な直線$m$、頂点$\text{C}$を通り対辺$\text{AB}$に平行な直線$n$を引きます。
そして、直線$m, n$の交点を$\text{P}$、直線$l, n$の交点を$Q$、直線$l,
m$の交点を$R$とします。
すなわち、直線$l$は直線$QR$、直線$m$は$直線R\text{P}$、直線$n$は直線$\text{P}Q$とも呼ぶことができます。
すなわち、直線$l$は直線$QR$、直線$m$は$直線R\text{P}$、直線$n$は直線$\text{P}Q$とも呼ぶことができます。
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平行四辺形の性質より、対辺の長さが等しいことから
\begin{gather*}\text{AB}=\text{PC}=Q\text{C}\\[1em]\text{BC}=Q\text{A}=R\text{A}\\[1em]\text{CA}=R\text{B}=\text{PB}\end{gather*}
が成り立ちます。
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すなわち、垂線$\text{CH}$は辺$\text{P}Q$の垂直二等分線となります。
同様に、$△\text{ABC}$の辺$\text{BC}, \text{CA}$それぞれの垂線$\text{AH}, \text{BH}$も、$△\text{P}QR$の辺$QR,
R\text{P}$の垂直二等分線であることがわかります。
よって、これら垂直二等分線の交点である$△\text{ABC}$の垂心$\text{H}$は、$△\text{P}QR$においては外心であることがわかります。
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三角形の1辺の両端の角に着目します。
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対して、両端の角の一方が鈍角のとき、対頂点からおろした垂線の足は辺の延長上にある、すなわち垂線は三角形の外部にあります。
鋭角三角形はすべての内角が鋭角なので、3本の垂線は三角形の内部で交わります。そのため、鋭角三角形の垂心は三角形の内部にあります。
鈍角三角形の内角は1つだけ鈍角で、その鈍角をつくる2辺に対する2本の垂線が三角形の外部で交わります。そのため、鈍角三角形の垂心は三角形の外部にあります。
直角三角形の場合は、上で示した通りです。
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