座標空間上に2つの定点$A(p,0,0),B(-p,0,0)$とそれ以外の点$P(x,y,z)$をおき、2つの定点から点$P$までの距離の和$AP+BP$が最小になる点の位置を調べてみます。
点$P$が任意の位置にあるとき、$AP+BP$は
\[AP+BP=\sqrt{(x-p)^2+y^2+z^2}+\sqrt{(x+p)^2+y^2+z^2}\]
と表せます。
ここで、$y^2,z^2\geqq0$より
\begin{align*}&y^2+z^2\geqq y^2+0\geqq0+0=0\\ &\quadまたは\ y^2+z^2\geqq0+z^2\geqq0+0=0\end{align*}
であるから、$AP+BP$が最小であるには少なくとも$y^2=0,z^2=0$、すなわち$y=0,z=0$である必要があります。
このことから
\[AP+BP=\sqrt{(x-p)^2}+\sqrt{(x+p)^2}=|x-p|+|x+p|\]
となります。
$x$の範囲で場合分けすると
\[\left\{\begin{align*}x<-p&のとき\\ AP+BP&=-(x-p)-(x+p)\\[0.5em]&=-2x\\[1.5em]-p\leqq x\leqq p&のとき\\ AP+BP&=-(x-p)+(x+p)\\[0.5em]&=2p\\[1.5em]x>p&のとき\\ AP+BP&=(x-p)+(x+p)\\[0.5em]&=2x\end{align*}\right.\]
関連：絶対値が2つある1次関数
※こちらの場合分けの条件と少し違うのは$AP+BP=2p$となる場合とならない場合で分けているためです。
ここで、場合分けの条件を変形して
\begin{align*}x<-pのとき\\ AP+BP&=-2x>2p\\[1.5em]x>pのとき\\ AP+BP&=2x>2p\end{align*}
であるから、$-p\leqq x\leqq p$のとき、すなわち線分$AB$上に点$P$があるとき2定点$A,B$からの距離の和が最小になることがわかります。
Share:
